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V. Metrische Geometrie.
mit
(OAB) + (0A′B) = (0 A″B)
OAOA' OA",
wenn nicht zwischen A, A', sonst
OA OA' OA",
―
=
wenn OA> OA'. Die Addition der Verhältnisse ist also wie die
der Strecken assoziativ und kommutativ. Die Verhältnisse (00B)
mit B0 und nur diese sind Null.
101. Definition: Das Produkt zweier Verhältnisse wird de-
finiert durch:
(OAB) (OBC) = (OAC).
Die Verhältnisse (OBB) und nur diese sind Eins; (ÓAB), (OBA)
sind reziprok, und es wird (OAB)+(BA0)=1. Die Multiplikation
ist assoziativ, denn es ist
((OAB) (OBC)) (OCD)=(OAC) (OCD) = (0 AD) = (0AB) (OBD)
· (OAB) ((OBC) (OCD)).
102. Satz: Die Multiplikation der Verhältnisse ist kommutativ.
Beweis: Aus
D
(OAB) = (OCD)
Folgerung: Aus (OAB) = (OCD) folgt
=
folgt
(OAC) = (OBD);
(s. Fig.) denn ist OA
= OA', OB OB',
OC OC', OD=
OD', so ist
A'
B'C'
D'
[A'C] [B'D], [B'B]||[C'C],
also nach dem Pascalschen Satze [A B][C'D], d. h. (OAC) =
(OBD). Demnach wird stets:
(0AB) (OBC)=(OAC)=(OBD)=(OBC)(OCD)=(0BC)(0AB).
=
=
(OAE) (ODE) = (0 AB) (OBC) (ODE)
(OBE) (OCD) (ODE)
(OBE) (OCE).
=
103. Satz: Addition und Multiplikation der Verhältnisse sind
distributiv.