Art. 93-94.
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au
.b
und u ein Vektor ist. Also muß auch:
(α
--
— i̟¸ α¸ — i̟ α — i̟₁ iα12) (b + i̟¸b₁ + igb₂ + ¿¡ ¿½ b19)
i₁ iz
-
ein Vektor, d. h.
sein. Setzt man jii
mit der Bedingung:
aob, — a,b, + a,b, c a,b, = )
-
12
= ε (ε²
so wird die Biquaternion Q =
=
=
(α。 + α₁₁₁ + α₂ i½ +ɑ12i1i½) + ɛ (b。 + b₁ ¿₁ + b₂ ¿½ +b12 41 ¿2)
-
Denn für ε2
wird
D
-j2) und substituiert
bob12
b₁ | b₂
b, || — Ե
b12 bo
a b + a₁ b₁ + ab + а₁₂ b₁₂ = 0.
Diese Bedingung läßt sich bei einer beliebigen nicht singulären
Biquaternion durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor o̟+68
stets erreichen. Es wird nämlich
(9 + 6ε) Q = (9 +ε6) (a +ɛb) + (9 + ε6) (α, + ɛb₁) ¿¡
+ (9 +ε6) (α, +εb₂) 12 + (0 + ε6) (α12 +ɛb12) i1i2,
also muß:
୧
6
=
(αọ+ε²b¤) (α¤+bọ) + (α₁e̟ +ε²b₁¤) (ª¸¤ + b₁0)
+(ɑ₂ e̟+ε²b₂ 6) (α, 6+b₂Q) + (α120 +ε²b126) (ɑ126 +b120)
sein. Das gibt für die quadratische Gleichung:
Եգ
2
(ɑb。 +ɑ₁b₁ +ɑ½b₂ + ɑ₁₂b₁2) 0² + (a² + a₁² + α₂² + α12² +
2
2
12
12
ε² (b² + b₁² + b₂² + b₁₂²))96 + (ɑb。 +а₁b₁ + ɑ₂ b₂ + a12b12) ε² 6²
mit der positiven Diskriminante
2
2
2
2
D = (a² + a₁² + a₂² + a₁₂² + ε² (bo² + b₁² +b₂² + b₁₂²))2
2
4 ε ² (α b。 + a₁ b₁ + ɑg b₂ + α 12b12)².
1 ist D die Summe zweier Quadrate, für ε²=+1
2
(a + b)² + (a₁ + b₁)² + (α₂ + b₂)² + (α12 + b₁₂)²) ·
2
·
-
((a。 —b)² + (α₁ — b₁)² + (α₂ — b₂)² + (α12-b12)²),
also stets > 0, außer, wenn
=
0
=
0,