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V. Metrische Geometrie.
lege man die (eigentliche) Ebene E:
die Koeffizienten α-α, α- α, verschwinden jedenfalls nicht beide,
da sonst
a ag,
(α₂ — αg) (x − x1) — (α。 — α1) (X, — X3);
-
=
·
also A nicht eigentlich wäre. In der Ebene E liegt außer & auch
die Gerade
+G:
-
=
(A3 — A3) (Xo — X1) — (α。 — α₁) (X2 — X3)
(α。 −α₁) (x。 + x₁) = − (α₂ — αg) (X₂ + X3)
-
und aus
und jeder Punkt von Gund H genügt der Gleichung
2
2
2
· x² + x₁2 — X₂² + x3² = 0).
-
zunächst
2
2
2
2
—
a‚²
a² + α₁² — α₂² + α3² = 0,
-
Seien jetzt B, A₁, B₁ weitere eigentliche Punkte von E = {GH},
und Strecke AВ=Ã₁В₁.
AB
Ist I=([AB]), J=([AB]§), 4=
([Ą₁ B₁]&), J₁ ([AB₁]), so existiert eine Kongruenz, in welcher
A, B den A₁, B₁ entsprechen; also eine Projektivität, in welcher
A, B, I, J den A₁, В₁, Ã₁, J₁ (mit Erhaltung der Ordnung) entsprechen.
Demnach sind die Würfe ABIJ, A₁B₁IJ₁ gleich. Sei jetzt ABA₁B₁,
AB und inzident
1
=
―
A D B
•
=
aber A₁B'
A₁B₁, so ist
9
=
(ABIJ) .
(¸ à Ï'Ï) · (B´ÂÏÏ)
(ABIJ) · (B'¸ÏÏ),
(ABIJ) + (ABIJ),
also
da
(B'B₁₁J₁)+1 für B′+B₁
ist. Sei D zwischen A, B
(s. Fig.), CD ein eigent-
licher Punkt auf [D(GH)], I'-
([CB]&), I″ = ([AC]G), J' =
([CB]§), J″=([AC]H). Dann
folgt aus
=
ABAD + DB
ADIJACI"J, DBIJ = CBI'J"
=