Art. 82-88.
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A'B' + B'C' A'C'
(s. 70 Zusatz), also liegen A', B', C' in einer Geraden.
85. Satz: In jeder Kongruenz sind entsprechende Winkel gleich.
Beweis: Entsprechen A', B', C' den Punkten A, B, C, so ist
AB=A'B', AC= A'C', BC=B'C', also (22) Winkel ABC= A'B'C'.
86. Satz: Ordnet man in einer Kongruenz einem uneigentlichen
Punkte ([AB][CD]) stets den Schnittpunkt der entsprechenden Geraden
([A'B'][C'D']) zu, so entspricht auch jedem uneigentlichen Punkt
ein uneigentlicher Punkt und drei Punkten einer Geraden drei Punkte
einer Geraden.
Beweis: Aus A'B'C'D' ~ ABCD folgt wie in 37, daß mit
([AB][CD]) zugleich ([A'B'][C'D']) uneigentlich ist. Daß drei
Punkten einer Geraden drei Punkte einer Geraden entsprechen, folgt
durch kongruente Übertragung einer zugehörigen Desarguesschen Figur.
87. Satz: Jede Kongruenz ist eine Projektivität, dem Pol einer
Ebene entspricht der Pol der entsprechenden Ebene; und den Punkten,
die in ihrer Polarebene liegen, entsprechen Punkte, die in ihren Polar-
ebenen liegen.
Beweis: Daß jedem eigentlichen oder uneigentlichen Punkt genau
ein Punkt entspricht und drei Punkten einer Geraden wieder drei
Punkte einer Geraden entsprechen, folgt aus 74, 76. Ferner ent-
spricht jedem rechten Winkel nach 75 ein rechter Winkel. Da die
Beziehung zwischen Pol und Polarebene (teils direkt, teils indirekt)
auf den rechten Winkel gegründet war, so entspricht auch Pol und
Polarebene immer Pol und Polarebene. Da schließlich in jeder Pro-
jektivität koinzidierenden Elementen koinzidierende Elemente ent-
sprechen, so entspricht auch jedem Punkt, der in seiner Polarebene
liegt, wieder ein Punkt, der in seiner Polarebene liegt; d. h. jeder
Punkt, der der Gleichung
2
2
2
2
=
x² + x₁² + x²² + X32 0 resp. x2 + x₁² + x₁² + X3² = 0
genügt, entspricht einem Punkt derselben Beschaffenheit.
88. Satz: Genügen die Punkte, die in ihren Polarebenen liegen,
der Gleichung
2
2
2
――
· x² + x₁² — x²² + X3² = 0,
so gilt nicht immer der Satz, daß AC+ CB÷AB ist, wenn A, B, C
in keiner Geraden liegen.
Beweis: Durch einen eigentlichen Punkt A (aa₁₂α) und die
Gerade 6:
Хо
X1
0
X2 X3 0
--