Art. 79-80.
273
ecken ABC, A'B'C', daß die drei Geraden [(BC) (B'C')], [(CA) (C'A')],
[(AB) (A'B')] durch einen Punkt gehen. Nun liegen (z. B.) B, C
auf der eigentlichen Geraden [BC], also gehen ihre Fußpunktgeraden
B, C durch den Lotschnittpunkt von [BC] usw.; also ist nach De-
finition [(BC) (B'C')] die Fußpunktgerade von P, ebenso [(CA) (C´A´)]
die Fußpunktgerade von und [(AB) (A′B′)] die von R. Damit ist
der Beweis vollendet und zugleich gezeigt, wenn ein uneigentlicher Punkt
P auf einer uneigentlichen Geraden [QR] liegt, geht seine Fußpunkt-
gerade durch den Lotschnittpunkt von [QR].
79. Definition: Schließt man den Euklidischen Fall aus, daß
auf jeder Geraden genau ein uneigentlicher Punkt liegt, und definiert
A
A
B
A
=
6)
C'
im Raume als Polare einer Geraden die Gerade, auf der alle Lot-
schnittpunkte der Geraden & in den verschiedenen Ebenen von G
liegen, als Pol einer Ebene den Schnittpunkt aller Polaren ihrer Ge-
raden, als Polarebene eines Punktes die Ebene aller Polaren seiner
Geraden, so besteht der Satz:
80. Satz: Jede Gerade hat genau eine Polargerade; jede Ebene
hat genau einen Pol, jeder Punkt hat genau eine Polarebene; liegt
ein Punkt in einer Ebene, so geht seine Polarebene durch den Pol
der Ebene.
Beweis: Ist [OP] {PQR}, S. der Lotschnittpunkt von [PQ]
in {PQR), PQ PO, also SPQ SPO, so ist also S auch ein
Lotschnittpunkt von [OP]. Die Lotschnittpunkte aller Geraden [PQ]
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
18