Art. 73.
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=
durch Logarithmieren
AB< AC+ BC
folgt.
Für den Euklidischen Fall, daß auf jeder Geraden genau ein un-
eigentlicher Punkt liegt, ist eine Geometrie der verlangten Art die von
Minkowski*) seiner Geometrie der Zahlen zugrunde gelegte. In der
Euklidischen Ebene werde eine geschlossene, überall konvexe Kurve
mit Mittelpunkt O als „Eichoval" genommen. Zwei Strecken
heißen gleich, wenn sie durch Parallelverschiebung auseinander her-
vorgehen; ferner heißen zwei „Radien" OI, OJ des Eichovals ein-
ander gleich; schließlich heißen zwei Strecken OA auf OI, und OB
auf OJ einander gleich, wenn [AB] [IJ] ist. Winkel heißen gleich,
wenn sie es im gewöhnlichen Sinne des Wortes sind. Offenbar gelten
alle Kongruenzgrundsätze mit Ausnahme des Satzes 11. Denn gälte
dieser Satz, so seien (s. Fig.) K, I, J Punkte des Eichovals, I, 0, J
in einer Geraden; dann folgt KOI~
IOK, KOJ~ JOK, also OIK=
OKI, OJK OKJ, also IKJ-
JIK+ IJK, also, da hier die Drei-
eckswinkelsumme zwei Rechte be-
trägt, IKJ=1 Rechter. Nach dem Satz
des Thales (65) wäre also das Eichoval
ein Kreis, was ausgeschlossen werden
konnte. Dagegen gilt der Satz von
der Geraden als kürzester. Um das
zu beweisen, definiere man als Eich-
oval mit dem Mittelpunkt A und dem
Radius AC die Gesamtheit des Punkte P, für welche AP AC ist.
Zwei Eichovale, eins um A und durch P, ein andres um B und durch
Q, haben einen äußeren und einen inneren Ähnlichkeitspunkt. Sind
nämlich AP BQ und AP BQ parallele Radien der beiden Eich-
ovale, so ist z. B. ([AB][PQ]) der äußere, und ([AB][PQ']) M
zwischen A und B der innere Ähnlichkeitspunkt. Haben die beiden
Ovale einen Schnittpunkt C und ist CD die Sehne des zweiten Ovals,
welche durch M geht, so liegt M auch zwischen C und D, also im
Innern des zweiten, ebenso des ersten Ovals; also ist
AB AM+ MB< AC+ CB,
was zu beweisen war.
=
-
*) Geometrie der Zahlen, Leipzig 1896.
K
=
=
I