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V. Metrische Geometrie.
Ꭺ
Für den Fall, daß die Dreieckswinkelsumme nicht größer als zwei
Rechte ist, kann der Satz einfacher so bewiesen werden: es sei (s. Fig.
S. 263) CA' CA und inzident CB, ebenso CB' CB und inzident
CA; dann ist die Winkelsumme im Viereck A A′BB' gleich 2 A′ BB'
+2B'AA' nicht größer als vier Rechte, also CAA'≤CBB'; da ferner
CB' CB < CA und CA' CA> CB, also CBB' < CBA und
CAB <CAA' ist, so folgt CAB < CÁA' <CBA, also CAB<
CBA, was zu beweisen war.
-
A
―
70. Satz: In jedem Dreieck ABC ist die Summe zweier Seiten
ACBC größer als die dritte AB, wenn als dritte Seite AB die
kürzere der beiden Strecken AB genommen wird.
=
Zusatz: Es gilt stets der Satz
ACBC AB, wenn A, B, C
nicht in einer Geraden liegen. Denn
ist AC AD, D auf AB, so daß
BC=BD, so folgt: ACB=ACD+DCB=ADC+BDC=2 Rechte,
d. h. ACB in einer Geraden.
4
B
A₂
=
Beweis: Es sei (s. Fig.) CD
= CB und auf [CA], aber nicht
inzident CA; dann ist ADB=
CBD <ABD, also AD> AB,
d. h. AC BC > AB.
71. Satz: Gilt ohne Einschränkung der Satz: die gerade Ver-
bindungslinie ist kürzer als jede aus Strecken zusammengesetzte Ver-
bindung zweier Punkte, so sind uneigentliche Punkte vorhanden.
=
Beweis folgt unmittelbar aus 70.
72. Satz: Gilt der Satz von der geraden Linie als kürzester un-
eingeschränkt und besteht Meßbarkeit, so ist die Winkelsumme nicht
größer als zwei Rechte.
B
B
B₂
B₂
2
Beweis folgt unmittelbar aus 71 und 67. Legendre bewies den
Satz folgendermaßen: Es sei (s. Fig.) in den Dreiecken ABĄ₁≈
A B₁ A~ A B2 A3 ~ · · ·
.. die Winkelsumme größer als zwei Rechte;
dann ist in den Drei-
ecken BAB₁~ В¸ ½
B A B~, der
Winkel BA, B₁<ABA₁,
also (s. u.) BB₁ < AA₁;
existiert also eine ganze
Zahl n so,
daß
1
~
BB₁) > 2 AB
A
n (A A₁
ist. so ist:
―