Art. 69.
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eigentliche Punkte, und läge z. B. B zwischen A und C₁, so wäre
MBC₁ spitz (s. 60), also ABM stumpf gegen die Annahme. Ist
zweitens die Dreieckswinkelsumme größer als zwei Rechte, und wäre
C₁ nicht auf AB, so wäre MBC, ein Dreieck mit einem rechten und
einem stumpfen Winkel, also wären uneigentliche Punkte nicht vorhanden.
Ist also [C'A][AB], [C′B]1[AB], so ist C'eigentlich, und C',
M, C, in gerader Linie, also MC₁<C'С₁, also z. B.
C"
(s. Fig.) MBC, < C'BC,, also spitz und MBA
stumpf, gegen die Annahme. Jetzt sei AB=AC₁
+С₁B, AB₁=AC₁ und inzident AC, und BC₁
BA₁ und inzident BC; so ist AMC AMB₁,
BMC BMA₁, also MB₁ = MC₁ = MA₁; nun
sei BC-BA₁+Д₁С, AС=AB₁+B₁C, B.Co
A₁С (z. B. <B₁C) und inzident B₁ C, so ist MA₁ C
~MB, Co, also MC-MC; ist jetzt BC= B₁C。
+CC und N der Mittelpunkt von CC, so ist
MNC MNCo, also MNC ein Rechter, also, da
auch MBC ein Rechter ist, müßte (s. 38) MB, c
2
1
A
*
C'C₁ gefun-
2
- C'C₁ sein, während MB, = MC,
den wurde. Also ist CC, d. h. MCA, MCB₁, also CA₁ = CB₁·
Ist nun BC < AC, also BA₁ < AB₁, also BC₁ < AC₁, so sei C₁ B
CB und inzident C₁A, also C, MB, C, MB. Ist nun erstens die
Winkelsumme im Dreieck nicht größer als zwei Rechte, so ist die
Winkelsumme in C, MA gleich der von C₁ MB und der von MBA
vermindert um zwei Rechte, also die von C₁ MB, größer als die von
C₁MA; da nun С₁В <С₁A, also C₁MB < C₁MA ist, so folgt
C,B,M>C₁AM, also CBA = 2C, BM größer als BAC-2C, AM,
was zu beweisen war. Ist zweitens die Winkelsumme im Dreieck
größer als zwei Rechte, so sei AD = BC₁
und inzident AC₁, [DO] L [AD], [MO]
1
-
[MC], also O eigentlich, DO< MC₁, .
LC, MAC, MO; denn C, MA ist
<1 Rechter, sonst ergäbe das Dreieck
CMA, daß CA nicht kleiner, also BA
größer wäre als C'C₁, gegen die Annahme.
Aus C₁MAC, MO folgt DMA≤DMO,
also DP≤DO, wenn P=([OD][MA])
(also eigentlich) ist; ist noch DQ = C₁
und inzident DO, also DQ> DO, so folgt DAQ> DAO, also
DAQ > DAP, also, da DAQ~ CBM ist, С₁BM>С₁AM, also
ABC > BAC, was zu beweisen war.
M
=
B
A'
-
=
M
B'
A