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V. Metrische Geometrie:
fragliche Satz in neuerer Zeit von Dehn*) und Schur**) mit Beweisen
versehen worden, mit denen der Satz den ihm zukommenden Platz in
der Elementargeometrie nicht einnehmen könnte. Der erstere kon-
struiert zu diesem Zwecke eine Pseudogeometrie, der letztere begründet
dazu die analytische Nicht-Euklidische Geometrie.
Den Satz 59 hat, minder einfach, Dehn (1. c.) zuerst bewiesen.
Der Satz 67 wird Legendre zugeschrieben, der aber nur bewies, daß
die Winkelsumme nicht größer als zwei Rechte ist, unter der still-
schweigenden Annahme uneigentlicher Punkte; die Bemerkung, daß
dabei die Meßbarkeit eine notwendige Voraussetzung bildet, rührt von
Dehn (1. c.) her. Jedoch weist Dehn nicht nach, daß die eingeführten
uneigentlichen Elemente dem Verknüpfungs- und dem Anordnungs-
grundsatz entsprechen.
Die gerade Linie als kürzeste.
69. Satz: In jedem Dreieck liegt der größeren von zwei Seiten
der größere der Winkel gegenüber, wenn als Seiten AB, AC, BC
des Dreiecks ABC die kleineren der Strecken AB, AC, BC ge-
nommen werden.
Beweis: (s. Fig.) Es seien BM], AM] die Mittelgeraden der
Winkel CBA und CAB, die nach Voraussetzung kleiner als ge-
Co
Af
M
B₁
Q
10
B
C
B
streckte sind. M ist eigentlich; denn existieren überhaupt uneigent-
liche Punkte, so liegt ([BM][AC]) zwischen A und C, ist also
eigentlich, und dann liegt M zwischen B und ([BM][AC]), ist also
eigentlich. Es sei [MC₁] [AB]; C₁ auf [AB] ist eigentlich, ein-
deutig (aus 38), B und liegt auf AB; denn ist erstens die Drei-
eckswinkelsumme nicht größer als zwei Rechte, existieren also un-
Math. Ann. 53 (1900) p. 404.
D
*) Inaugural-Dissertation, Göttingen 1900
**) Math. Ann. 55 (1902) p. 265.
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