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V. Metrische Geometrie.
39. Die Kongruenzsätze lassen sich auf die uneigentlichen Ele-
mente ausdehnen, da diese auf Grund der eigentlichen Elemente de-
finiert sind. Diese Ausdehnung soll im folgenden nur soweit statt-
finden, wie davon später Gebrauch gemacht wird.
40. Definition: Ein eigentlicher und ein uneigentlicher Punkt
bestimmen eine „uneigentliche Strecke". Zwei eigentliche Gerade eines
uneigentlichen Punktes bestimmen einen „,uneigentlichen Winkel".
41. Definition: Zwei uneigentliche Strecken AB, A'B', wobei
B, B' uneigentlich sind, heißen gleich, wenn man L CAB C'A'B',
CA = =
C'A', LACBA'C'B' machen kann (s. Fig.). In der Tat ist
diese Definition unabhängig von der Wahl des Winkels CAB, der
C
C'
A
-
B
=
A
Α'
Strecke CA, und der Ebenen {CAB}, {C'A'B'}. Denn ist L C₁AB=
C₁'A'B', C₁A=CA', und sind die entsprechenden Winkel der Ebenen
gleich, so ergibt die kongruente Übertragung einer Desarguesschen
Figur, zufolge der [AB], [CB], [C₁B] durch einen Punkt gehen, daß
auch [A′B′], [C'B′] und die mit [C'A'] den Winkel ACB bildende
Gerade von C durch einen Punkt gehen.
Macht man (s. Fig.) in derselben Ebene (CAB), aber in der
andern Halbebene von [A B] Winkel DAB-CAB, DA=CA, LBºDA=
BCA, so beweist man leicht, daß [DB]
durch B geht (unter Benutzung des Satzes,
daß in einer Ebene alle Lote von [AB]
durch einen Punkt gehen, s. 38).
B
Dann gilt also auch der Satz: Sind
zwei Strecken einer dritten gleich, so
sind sie einander gleich.
D
42. Satz: Stimmen zwei gleiche
uneigentliche Strecken AB, AB₁ einer
Halbgeraden im eigentlichen Endpunkte
überein, dann auch im uneigentlichen; sind also A, AB] und ÃÂ
gegeben, so findet man B eindeutig so, daß AB = A₁ B₁ ist.
ᎪᏴ
Beweis: Ist AB=AB₁, A eigentlich, [CAB=CAB₁, CA=CA,
so muß ACB ACB₁, also [CB] = [CB₁], B = B₁
B₁ sein.
B'
43. Definition: Zwei uneigentliche Winkel ABC, A'B'C'
heißen gleich (s. Fig. S. 249), wenn man AC-A'C', [ÇAB⇒C'A'B',