Art. 19--26.
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was
zu beweisen war.
C = C',
dieser Sätze zum Grundsatz entbehrlich,
Satz 13 zum Grundsatz wählt.
22. Satz: Aus AB = A'B', AC = A'C', BC= B'C' folgt
ABC A'B'C'.
Beweis: Es sei [C"A'B' CAB und nicht inzident LC'A'B';
ferner sei C"A' CA, also (13) C"A'B' CAB. Ferner A'C'C"~
A'C" C', also LA'C'C"=A'C"C', ebenso folgt C'B'C"~C" B'C', also
▲ B'C' C'' = B′ C"C', also (17) ▲ A′ C′ B′ = A′ C″ B′ = ACB, also (13)
A'C'B' ACB.
=
Übrigens wird die Annahme eines
wenn man statt 11 den
02
23. Definition: Sind MA MB zwei gleiche nicht inzidente
Strecken einer Geraden, so heißt M ein Mittelpunkt derjenigen Strecke
AB, welche den Punkt M enthält.
24. Satz: Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.
=
-
=
Beweis: Man wähle C außerhalb [AB], mache [ C'AB= CBA,
C'A= CB, also C'AB≈ CBA. Von den beiden Punkten ([AC][BC′]),
([AC][BC]) ist jedenfalls einer stets eigentlich, da er zwischen C,
A resp. C, B liegt. Ist D=([AC][BC']) eigentlich, also (14) DAB
~DBA, DA DB, so mache man LDAB-D'AB und nicht inzi-
dent, dann DA=D'A, also DAB~D'AB; dann ist M=([DD'][A B])
eigentlich, weil zwischen A und B gelegen, und es ist DAB D'AB
(13), DB= D'B, also (22) DAD'~ DBD', also L ADM - BDM,
also (13) DAM DBM, also AM = MB. Gäbe es noch einen
zweiten Punkt M', so wäre (z. B.) MB= AM=AM' + M'M = M'B
+M'M=M'M+MB+M'M, also (6) M'M+M'M = 0, woraus
M': M folgt.
=
M'M
25. Satz: Durch den Punkt M auf [AB] geht genau eine, durch
jeden andern mindestens (vgl. 38) eine Senkrechte zu [AB].
=
Beweis: Liegt M auf [AB], so mache man MA MB nicht
inzident und verfahre wie in 24. Liegt M nicht auf [AB] und ist
MAB kein Rechter, so mache man MAB – M'AB nicht inzident
■
und MA = M'A, N = ([AB][MM']); dann ist N zwischen M und
M' gelegen, also eigentlich, und ANM ANM', also LANM =
ANM' gleich einem Rechten.
~
26. Satz: Ist M der Mittelpunkt von AB, und sind MA, MB'
nicht inzidente Strecken einer Geraden, und LA'AM = B'BM, so
existiert zu [AA′], [BB′] eine gemeinsame Senkrechte.
Beweis: Sei [MP] senkrecht [AA'], P auf [AA], BQ = AP,
so daß QMB dem Scheitel winkel von PMA inzident, so ist
AMP BMQ, also LAMP = BMQ, d. h. PMQ ist eine Ge-
~
rade, und MQB = MPA, also [PQ] auf beiden Geraden senkrecht.
=
=
2
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