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V. Metrische Geometrie.
=
19. Satz: Scheitelwinkel sind gleich.
Beweis folgt aus 15 und dem letzten Satz aus 18.
20. Satz: Alle rechten Winkel sind gleich.
Beweis: Sei DAB≈ DAB', BAB' in gerader Linie; ferner
[ C₁ А₁ В₁ = С₁ Ã¸В und man mache CAB= C₁A₁ B₁, C auf [BD],
also auch (15) LCAB' C₁A, B₁'; dann ist LCB'A=CBA=DBA
DB'A, also (8)
[B'C] = [B'D],
=
CD, [AC]-[AD], LBAC
L B₁₁ C₁ BAC BAD.
(C ist eigentlich, weil (s. IV 29 S. 180) zwischen D und B resp. D
und B' gelegen.)
21. Dieser Satz ist von Euklid*) als Grundsatz aufgestellt, von
Legendre**) und Hilbert ***) bewiesen worden. Legendre schließt im
wesentlichen:
=
=
=
CAB<DAB = DAB' < CAB',
also kann nicht CAB=CAB′ sein. Aber die Einführung des „größer“
und „kleiner“ ist hier nicht erforderlich. Crelles†) Bemerkung, der Satz
sei hier im Gegensatz zu Euklid beweisbar infolge des Grundsatzes:
Durch zwei Punkte ist genau eine Gerade bestimmt, ist offenbar un-
richtig. Vielmehr ist das Entscheidende am Legendreschen, wie am
Hilbertschen, wie am obigen Beweise, die Voraussetzung des Satzes 8
von der Eindeutigkeit des Winkelabtragens. Diesen Satz nimmt
Euklid nicht als Grundsatz an, konnte daher auch nicht den Satz von
der Gleichheit der rechten Winkel beweisen. Hilbert hat also Un-
recht, Euklid hieraus einen Vorwurf zu machen. Es entspricht sogar
mehr unserer Forderung, daß jeder Grundsatz einen möglichst geringen
Inhalt haben soll, wenn man mit Euklid den Satz von der Gleichheit
der rechten Winkel zum Grundsatz wählt. Dieser Satz kann näm-
lich als die Eindeutigkeit des Winkelabtragens für rechte Winkel
aufgefaßt werden, und man kann aus ihm den Satz von der Ein-
deutigkeit des Abtragens beliebiger Winkel folgern. Denn es sei L CAM
-C'AM und man mache MB-AM, LCMA CMB- einem Rechten,
AC' AC, so folgt CMA CMB, also L CAM CBM, ferner
CA C'A, L CAB = C'AB, AB = AB, also CAB~ C'AB, also
CB= C'B, LCBA = C'BA, also CBM C'BM, also [C'MB=
CMB = einem Rechten und CM C'M, also [CM] = [C'M], also
=
~
*) Euklidis Elementa ed. Heiberg
**) Legendre, Géométrie. Livre I. Théorème 1.
=
-
BAD,
(Leipzig 1883) I p. 8.
***) Hilbert, Grundlagen der Geometrie § 6, Satz 15.
†) Legendre, Geometrie, deutsch von Crelle. 4. Aufl. (Berlin 1844) p. 5.