Art. 10-18.
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Beweis: Es sei A'D' AC und inzident A'C'; dann ist (11)
▲ D'B'A' = CBA = C'B'A', also (8) [D'B'] = [C'B′], D′ = C'.
15. Satz: Gleiche Winkel haben gleiche Nebenwinkel.
Beweis: Sei DA=D'A', DB=D'B', DC=D'C', LADC=A'D' C',
so folgt (11): LCAD=C'A'D' und (13) CA=C'A' und (5) AB=A'B',
also (11) CAD C'A'D', also L CBD = C'B'D', CB= C'B', also
(11) CBD C'B'D', also L CDB = C'D'B'.
~
16. Definition: Sind OA], OB], OC] drei Halbgerade eines
Punktes und in einer Ebene, und sind die Winkel AOB und BOC
nicht inzident, so heißt derjenige Winkel AOC, von welchem OB]
eine Halbgerade ist, die Summe der Winkel AOB und BOC. Die
Beziehung zwischen diesen Winkeln wird durch
AOB BOC AOC
dargestellt, wobei die Auffassung als Addition willkürlich ist. Die
Winkel-Addition hat die folgende Eigenschaft:
17. Satz: Summen gleicher Winkel sind gleiche Winkel, d. h.
aus AOB BOC AOC und L AOB= A'O'B', L BOC= B'O'C'
soll ▲ A′ O'C′ = AOC folgen, falls auch A'O'C' derjenige Winkel ist,
dem die Halbgerade O'B'] angehört.
=
=
Beweis: Es sei OA= O'A', OB = O'B', also (13) AB = A'B'
Β'
und (11) | OBA O'B'A'; es sei ferner C auf [AB], C' auf [A'B'],
also (15) L OBC = O'B'C', also (14) OC=0'C', BC - B'C' und
LOCB=0'C' B'; so folgt (5) CA-C'A', also (11) ▲ COA=C′ O'A'.
Existieren uneigentliche Punkte, so folgt nach Annahme der
eigentlichen Punkte A und C, daß B (nach IV 25) eigentlich ist, dann
daß auch A', B', C' (nach 3) eigentlich sind.
18. Satz: Die Winkeladdition ist assoziativ und kommutativ;
alle Winkel AOB mit OA]=0B] sind als einander gleich und gleich
Null anzusehen. Durch die Summe zweier Winkel und den einen
Summanden ist der andere eindeutig bestimmt.
Beweis: Es ist:
=
=
=
=
(AOB+ BOC) + COD AOC+ COD = AOD
=AOB+BODAOB+ (BOC+ COD).
=
=
Mit Rücksicht auf 7 ist:
=
AOB BOC AOC COA COB BOA = BOC+ AOB.
Aus AOB+BOX=AOB folgt LAOX AOB, also (8) eindeutig
OX] OB], d. h. BOB = 0. Aus AOB BOX AOC folgt
LAOX= AOC, also eindeutig OX] = 0C]. Aus
AOBAOB+ BOB = BOB+ AOB folgt also
A0A + AOB =
AOA = BOB.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
16
· =
=
=