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Art. 5-9.
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einander. Ein Winkel heißt stumpf oder spitz, je nachdem er größer
oder kleiner als ein Rechter ist.
Die Winkel haben die folgende Grundeigenschaft.
8. Grundsatz: Wenn BAC und B'A'X gegebene Winkel sind,
so existiert genau ein Winkel B'A'C', welcher dem Winkel BAC
gleich und dem Winkel B'A'X inzident ist.
Dieser Grundsatz ist unabhängig von allen vorhergehenden ein-
schließlich den über Strecken aufgestellten. Um dies einzusehen, trage
man in der Euklidischen Ebene Strecken in der gewöhnlichen Weise
ab, Winkel aber durch Parallelverschieben und Drehen; und zwar
ersteres, wie gewöhnlich, letzteres wie folgt (s. Fig.). Um den Winkel
QOP so zu drehen, daß ein Schenkel auf OE fällt, trage man auf
[OE] die Strecke OE 1 auf, ziehe [PQE] senkrecht zu [OE], P
und auf den Schenkeln des gegebenen Winkels, mache den Winkel
PEP in gewöhnlichem Sinne des
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Wortes einem fest gegebenen Winkel
& gleich, ziehe [QQ'] und [PP'] senk-
recht [PQ], P', Q' auf dem Schenkel
EP'] von ε, mache ROE im gewöhn-
lichen Sinne des Wortes dem Winkel
QOP' gleich, R auf [PQ]; dann soll
Winkel ROE dem Winkel QOP gleich
heißen. Der Punkt R hängt von P
und und von tg &
tg & durch bloße o
Quadratwurzeln ab; läßt man also
E
nur Punkte zu, deren Koordinaten rational sind oder aus rationalen
Zahlen durch bloße Quadratwurzelausziehungen hervorgehen, wählt
aber für tg eine nicht in diesem System enthaltene Irrationalität, so
gehört der Punkt R oder der gesuchte Schenkel OR] nicht dieser
Geometrie an.
9. Satz: Nach Annahme dieser Grundsätze bleiben der Pascalsche
Satz und der ebene Desarguessche Satz noch unbeweisbar.
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Beweis: Man messe in der Nicht-Desarguesschen Geometrie (II 58
S. 67) Strecken wie gewöhnlich, Winkel, deren Scheitel nicht auf dem
Kreise x² + y² = 1 liegen, wie gewöhnlich, Winkel, deren Scheitel auf
dem Kreise x² + y² 1 liegen, wie folgt. Winkel, deren beide
Schenkel Kreisbogen sind, setze man ihren Scheitelwinkeln gleich,
Winkel, von denen ein Schenkel ein Kreisbogen ist, der andere nicht,
setze man dem Supplement ihres Nebenwinkels gleich. Dann gelten
offenbar die Grundsätze 3, 5, 8, aber weder der Desarguessche noch
der Pascalsche Satz, da überhaupt kein Schließungssatz gilt.
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