Art. 167-172.
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so soll AB <AD folgen. Sei K der Grenzpunkt von D,
E=([LK]), F= = (C [JK]),
=
U die Grenzgerade von I, U (UB), V = (UC). Da D auf B liegt,
so findet die Reihenfolge UIDO, also U, [II], [ID] = [LJ], [10],
und ebenso U, [LJ], [LE]=[LK], [10], also (nach III 14 S. 147)
die Reihenfolge U, [LI], [LK], [40], also UIEO statt; also
liegt E zwischen O, I, d. h. auf der Halbgeraden B, also ist AB<AD,
was zu beweisen war.
170. Definitionen: Sind A, C zwei Halbgerade eines Punktes
O in verschiedenen Halbebenen einer Ebene der Halbgeraden B von
O, so heißt der Winkel AC die Summe der beiden Winkel AB und
BC; und ist GH AB, G'H' = BC, G″H″ = AC, so heißt auch
"" die Summe der beiden Winkel & und ''. Diese Defini-
tion ist zulässig, denn es gilt der Satz:
-
171. Satz: Summen resp. gleicher Winkel sind gleiche Winkel.
Beweis: Sei AB = A'B', BC — B'C', A, B, C Halbgerade eines
Punktes und in einer Ebene, ebenso A', B', C'; BA} +BC} und
B'A' } + B'C' }. In einer Affinität, in welcher der Halbgeraden B
die Halbgerade B', der Halbebene BA} die Halbebene B'A'), also
auch der Halbebene BC) die Halbebene B'C'} entspricht, muß wegen
BA B'A' nach 162 auch der Halbgeraden A die Halbgerade A',
und wegen BC = B'C' der Halbgeraden die Halbgerade Cent-
sprechen, also muß AC A'C' sein, was zu beweisen war.
172. Satz: Die Winkel bilden eine linear geordnete Gruppe
mit assoziativer und kommutativer Multiplikation. Die Winkel AA
mit koinzidierenden Schenkeln und keine anderen sind als Null an-
zusehen.
-
=
Aus
folgt
also
-
Beweis: Zunächst folgt das assoziative Gesetz aus
(AB+BC)+CD = AC+ CD=AD=AB+BD=AB+(BC+CD),
und das kommutative, mit Rücksicht auf 165 aus:
AB+ BC= AC = CA = CBBA BC + AC.
ABBC AB
d. h. nur die Winkel
geändert. Es ist AA
―
=
AC = AB
C = B,
BB lassen als Summanden eine Summe un-
BB nach Definition 167.