230
IV. Affine Geometrie.
selbst, Io, Jo sich selbst, also wegen IJPQ IJPQ, Q und eben-
so R sich selbst, also [OQ]=[IJ'] und [OR]=[JI'] sich selbst, also
I dem J' und J dem I', also ist Winkel AB~ B'A', also (wegen
165) AB~ A'B'.
167. Definition: Kongruente Winkel heißen gleich. Der Winkel
AB heißt kleiner als der Winkel AC, und AC größer als AB, wenn
der Punkt (B[IJ]) eigentlich ist; I, J Grenzpunkte von A, C. Jeder
nicht gestreckte Winkel heißt kleiner als jeder gestreckte.
168. Satz: Sind zwei Winkel einem dritten gleich, so sind sie
einander gleich.
Beweis folgt aus 152, 167.
169. Satz: Zwischen irgend zwei Winkeln GH, G'H' besteht
eine und nur eine der drei Beziehungen:
GH = G'H', GH>G'H', GH<G'H',
und es folgt aus
GH <G'H', G'H'<G"H"
GH <G"H".
Beweis: Es sei (162) AB = GH, AC' G'H'; ist jetzt B =
so setzen wir GH = G'H'; ist BC und B eine Halbgerade des
Winkels AC, so setzen wir GH <G'H'; ist C eine Halbgerade des
Winkels AB, so setzen wir GH>G'H'. Die beiden letzten Fälle
können nie zugleich eintreten. Denn sei (AB) = 0, ferner I。, I, J die
Grenzpunkte von A, B, C, D=(B[LJ]), E=(C[11]), [UV] die
Grenzgerade von I, U auf B und V auf C. Ist AB < AC, so folgt,
weil D eigentlich ist, die Reihenfolge ODIU und daraus diese OJEV,
also ist E uneigentlich, also AC > AB, und umgekehrt.
-
=
Ist auch A'B' GH, A'C' — G'H', C' in A'B'), so folgt (168)
A'B' — AB, A'C' = AC. In einer Affinität, in welcher dem Punkte
(AB) der Punkt (A'B'), der Halbgeraden A die Halbgerade A', der
Halbebene AB} die Halbebene 'B') entspricht, entsprechen nach
160 wegen AB - A'B' und AC A'C' auch der Geraden B die
Gerade B', der Geraden C die Gerade C'. Ist nun erstens AB = AC,
also BC, so folgt
=
stets
=
=
=
=
=
A'B' AB AC = A'C'.
Ist zweitens AB < AC, also D= (B[J]) eigentlich, und sind
I, J, D' die den Punkten I, J, D entsprechenden Punkte, so ist
auch D' = (B'['J']) eigentlich, d. h. A'B' < A'C'.
Ist noch "" AD, D in AB}, und AB < AC, AC <AD,
=
=
©,
T
I
1