Art. 161-166.
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der Geraden [OC']; dann aber läge von den Halbgeraden B′ =[C′I′],
B" = [C'I"]
= [C′I″] nur eine in der Halbebene A'X}.
163. Satz: Alle gestreckten Winkel sind kongruent.
Beweis: Sind CA] = B, CB] = A zwei Halbgeraden einer Ge-
raden [AB] der Ebene E, C'A'] = B′, C'B'] = A' zwei Halbgeraden
einer Geraden [A′B′] = oder + [AB] der Ebene E' oder E, so.
gibt es eine Affinität, in welcher der Punkt C dem Punkte C', die
Gerade A der Geraden A', die Gerade B der Geraden B', die Ebene
E der Ebene E' entspricht; also ist Winkel AB≈ A'B'.
=
164. Satz: Sind in zwei Dreiecken ABC, A'B'C', die Seiten
CA, CB resp. gleich den Seiten C'A', C'B' und der Winkel der
Halbgeraden AC] = B, BC]= A kongruent dem Winkel der Halb-
geraden A'C'] = B', B'C'] = ', so sind die beiden Dreiecke kon-
gruent.
Beweis: In einer Affinität, in welcher dem Punkte C der Punkt
C', der Halbgeraden A die Halbgerade A', der Halbebene A} die
Halbebene 'A'] entspricht, entspricht wegen CB = C'B' nach 153
dem Punkte B der Punkt B', und wegen AB = A'B' nach 162 der
Halbgeraden B die Halbgerade B', also wegen CA C'A' nach 153
dem Punkte A der Punkt A', also überhaupt dem Dreiecke ABC
das Dreieck A'B'C', d. h. (nach 151) es ist ABC ~ A'B'C'.
=
165. Satz: Die beiden Winkel AB und BA sind kongruent.
Beweis: Es sei (AB) = C, CA CB, A auf B, B auf A.
Man bestimme die Halbgerade A'
von B aus BA]A' = AB]B, A' P
in [AB]}; dann C'auf A' aus
BC' AC. Dann ist Dreieck ABC
≈ BAC', denn es sind AC = BC',
AB BA (nach 154), und die
Winkel zwischen diesen Seitenpaaren
kongruent. Also ist C'A=CB=
CA = C'B, also, wie vermittelst 164
zu zeigen ist, C=C', also ABC~.
BAC, also Winkel BAAB.
I
-=
=
T
J
Q
-
R
Jo
166. Satz: Scheitelwinkel sind
kongruent (s. Fig.).
Beweis: Sei C=([II′][JJ']), 0=([IJ′][JI′]), P = ([IJ][I'J']),
Io, Jo die Grenzpunkte von [CP], Q=([IJ'][CP]), R=([JI′][CP]),
A = CI], B = CJ], A' = CI'], B' CJ']. In einer Affinität, in
=
welcher C sich selbst, [CP] sich selbst, die Halbebene [CP]I} der
Halbebene [CP]I'} entspricht, entspricht der Pol O von [CP] sich