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IV. Affine Geometrie.
=
I' der Grenzpunkt von BA'] = BA] sein, d. h. da BJ, AI getrennt
sind, also J der Grenzpunkt von BA] ist, so muß I' = J, also auch
J' I sein. Nun sind die Würfe ABIJ und BA'JI einander gleich,
aus denen A = A' folgt, da ABIJ = BAJI ist. Um letzteres zu
zeigen, sei P ein beliebiger Punkt nicht auf [AB], Q ein beliebiger
Punkt auf [PA], A und P, und es sei L ([PI][QB]),
M = ([PI][QB]), N = ([QJ][PB]); dann ist (s. Fig. S. 225):
ABIJ PMIL ^ NQJL ^ BAJI,
1
=
B
P
also
ABIJ BAJI.
155. Definition: Kongruente Strecken heißen gleich (=). Die
Strecke AB heißt kleiner (<) als die Strecke AC, und AC größer
(>) als BC, wenn B zwischen A und C liegt. Diese Definitionen
sind zulässig, denn es bestehen die Sätze 156, 157.
156. Satz: Sind zwei Strecken einer dritten gleich, so sind sie
einander gleich.
und es folgt aus
stets
૨
Beweis folgt aus 152, 155.
157. Satz: Zwischen irgend zwei Strecken PQ, P'Q' besteht eine
und nur eine der drei Beziehungen
PQ = P'Q', PQ> P'Q, PQ< P' Q'
=
-
-
PQ <P" Q".
1
Beweis: Es sei 4X] eine beliebige Halbgerade und AB= PQ,
AC P'Q', B und C auf der Halbgeraden AX]. Dann ist nie A
zwischen B, C, also entweder BC, oder B zwischen A, C, oder
C zwischen A, B. Im ersten Fall setze man PQ-P' Q', im zweiten
PQ<P'Q', im dritten PQ> P'Q'. Es ist zu zeigen, daß diese Fest-
setzung von der Wahl der Halbgeraden AX] unabhängig ist. Wären
auf einer anderen Halbgeraden A'X'] die Strecken A'B' = PQ,
A'C' = P'Q', so wäre auch (156) AB = A'B', AC = A'C'. In einer
Affinität, in welcher dem Punkte A der Punkt A', der Halbgeraden
AX] die Halbgerade A'X'] entspricht, entspricht wegen AB= A'B'
und AC A'C' (nach 153) auch dem Punkte B der Punkt B', dem
Punkte C der Punkt C'. Ist nun erstens AB AC, also B = C, so
folgt A'B' AB AC'― A'C'.
===
Ist zweitens z. B. B zwischen AC, also AC, BU getrennt, wenn
U irgend ein uneigentlicher Punkt von [AB] ist, so ergibt eine Af-
=
PQ <P'Q', P' Q′ <P"Q"
P'Q' < P" Q″