Art. 146-150.
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Geometrie (II 59 S. 68) nur die im Innern des Kreises x² + y² = 1
liegenden, die Polaren von uneigentlichen Punkten und die Pole von
eigentlichen und Grenzgeraden wie gewöhnlich, dann gelten offenbar
die Sätze: Die Pole aller eigentlichen und Grenzgeraden eines uneigent-
lichen Punktes liegen auf einer Geraden der Polare des Punktes; die
Polaren aller uneigentlichen Punkte einer eigentlichen oder Grenz-
geraden gehen durch einen Punkt, den Pol der Geraden. Aber es
gelten nicht diese Sätze für beliebige Punkte und Geraden. Sind
nämlich (x, y) (h = 0, 1, 2) drei uneigentliche Punkte in einer Ge-
raden, so gehen zwar ihre wirklichen Polaren
(h = 0, 1, 2)
xx₁₂+yy₁ = 1,
aber ihre „Nicht-Desarguesschen“ Polaren
1
x xn + Y Y n
√xp² + yr²
λp₂ (x² + y² — 1) =
=
2
im allgemeinen nur für die ausgeschlossene Wahl p
=
einen Punkt.
-
2
x² = x₁² + x₂² + x3².
150. Satz: Nach Einführung von Koordinaten genügen die Ko-
ordinaten der Grenzpunkte einer homogenen Gleichung zweiten Grades,
die immer durch Koordinatentransformation auf die Form gebracht
werden kann:
Für einen eigentlichen Punkt ist dann
2
2
x² > x₁² + x2² + X3²,
für einen uneigentlichen Nicht-Grenzpunkt
2
2
2
x² < x₁² + X₂² + X3².
B₂- Zanz™x.
=
k
(h = 0, 1, 2)
Σ an x Y xxx =
k
h, k
Beweis: Sind x, x₁, X2, X¸ die Koordinaten eines Punktes, o,
§1, §2, § diejenigen seiner Polarebene, so findet (vgl. II 80 S. 98)
die reziproke Kollinearität 142 ihren Ausdruck in einer linearen Trans-
formation:
(h, k = 0, 1, 2, 3)
mit nicht verschwindender Determinante a│· Die Gleichung der
Polarebene von (xo, x1, x2, xg) wird also:
(h, k = 0, 1, 2, 3)
= 0,
p const. durch
wenn yo, Y₁, Y2, Y3 irgend ein Punkt derselben ist. Die Polarebene
des Punktes (yo, Y1, Y2, Ys) wird demnach