Art. 133-139.
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und zieht man [PPP₁] mit eigentlichen Punkten Po, P₁ auf [IJ],
[J], so folgt, daß die Grenzpunkte von [P。P₁] zu Grenzgeraden
von O gehören, daß also P von O harmonisch getrennt ist durch das
Grenzoval.
135. Definition: Die zu einem uneigentlichen Punkte O, der
kein Grenzpunkt ist, gehörende völlig bestimmte eigentliche Ebene
der Grenzpunkte der Grenzgeraden von O heißt die „Polarebene" von
0; 0 heißt,,Pol" derselben.
136. Satz: Zu jeder eigentlichen Ebene gehört genau ein un-
eigentlicher Punkt als Pol.
Beweis: Angenommen zur Ebene 2 gehörten O und P als Pole.
Eine eigentliche Ebene durch [OP] schneide 2 in [IJ] mit den
Grenzpunkten I, J; dann müßten sowohl [IO] als [IP] Grenzgeraden
von I, und sowohl [JO] als [JP] Grenzgeraden von J sein, was
wegen 129 unmöglich ist; also ist = P.
-
137. Satz: Ist P ein uneigentlicher (kein Grenz-) Punkt der
Polarebene von 0, so geht die Polarebene П von P durch O.
=
Beweis: Eine eigentliche Ebene E von [OP] schneide in
[IJP] mit den Grenzpunkten I, J. In E sei [PI] die eine Grenz-
gerade von P; J, der andere Grenzpunkt von [04]. Es ist I₁ + J₁,
denn sonst = J₁ = I oder = J, also P auf [OI] oder [OJ], also
I oder J, was ausgeschlossen war. Hätte jetzt [PJ] einen von
J₁ verschiedenen Grenzpunkt J, so hätte [OJ] einen von I ver-
schiedenen Grenzpunkt I'. Also läge P' =
Also läge P' = ([LI′][J₁J']) auf IJ
(134), müßte also mit P ([IJ][JJ']) übereinstimmen; dann aber
läge auf [1₁P]=[I₁P'] ein von I verschiedener Grenzpunkt I', gegen
die Annahme, daß [IP] Grenzgerade ist. Demnach ist auch [JP]
Grenzgerade und die Polarebene von P geht durch I, J, also auch
durch O, was zu beweisen war.
=
138. Definition: Die Grenzebene eines Grenzpunktes heißt dessen
Polarebene; der Grenzpunkt einer Grenzebene heißt deren Pol.
139. Satz: Jeder uneigentliche oder Grenzpunkt hat genau eine
Polarebene; jede eigentliche oder Grenzebene hat genau einen Pol.
Liegt der Punkt P in der Polarebene von 0, so liegt 0 in der
Polarebene П von P.
.
Beweis: Der erste Teil des Satzes folgt aus 134, 136, 140,
der zweite Teil, falls P und O beide uneigentlich sind, aus 137. Ist
aber P (in ) ein Grenzpunkt, O nicht, so ist [PO] Grenzgerade von
P, also (130) in der Grenzebene von 0 enthalten; also liegt O in
dieser, d. h. der Polarebene von O. Ist O Grenzpunkt, P nicht, so ist
(130) [OP] Grenzgerade von P, mit O als Grenzpunkt, also geht P's