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IV. Affine Geometrie.
OIAJ und OI' A'J' gleich, also gehen [II], [JJ'] durch einen
Punkt von [AA′].
Bildet man das Produkt der gegebenen Affinität mit derjenigen,
in welcher die Halbgerade [AI] und die Ebene E sich selbst, aber
I dem J und J dem I entsprechen, so wird in der zusammen-
gesetzten Affinität die Halbgerade [AI] der Halbgeraden [A′], die
Ebene E sich selbst, der Punkt I dem J', der Punkt J dem I' ent-
sprechen; also müssen sich auch [IJ′], [I'J] auf [AA] schneiden,
woraus die Harmonie von OA, IJ folgt.
133. Satz: Sind [J], [J] zwei Grenzgerade eines eigent-
lichen Punktes A, so gibt es durch jeden Punkt P derselben Ebene
Gerade, welche [J], [J] in eigentlichen Punkten + A treffen.
Beweis: Liegen z. B. die Geraden
[PI], [PL], [PA], [PJ], [P♫]
in dieser Reihenfolge, so wähle man eine Gerade [PAA₁] von [PA]
nicht getrennt durch [PI], [PJ], dann ist ihr Schnittpunkt A。 mit
[Jo] nicht getrennt von A durch Jo, also eigentlich, und ihr
Schnittpunkt A₁ mit [4] nicht getrennt von A durch IJ₁, also
auch eigentlich.
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134. Satz: Die sämtlichen Grenzpunkte der Grenzgeraden eines
uneigentlichen Punktes 0, der kein Grenzpunkt ist, bilden den voll-
ständigen Schnitt des Grenzovals mit einer Ebene; ist P irgend ein
eigentlicher Punkt derselben, so wird das Paar OP durch das Grenz-
oval, d. h. durch die beiden Grenzpunkte von [OP] harmonisch ge-
trennt.
Beweis: Es sei ein eigentlicher Punkt A durch das Grenzoval
harmonisch getrennt vom Punkte O. In einer Ebene E, durch [OA]
habe O die Grenzgeraden [O], [OJ]; dann geht [J] durch A
(132). In einer zweiten Ebene E, durch [04] liegen die Grenz-
geraden [04], [OJ] und es geht [J] durch A. Es sei [01]
eine fünfte Grenzgerade von O. Durch den Punkt ([OI]{ALJo})
lege man (133) eine Gerade [44], welche [I], [4] resp. in
den eigentlichen Punkten A。, A₁ trifft. Dann wird sowohl A。 wie
A₁ von O durch das Grenzoval harmonisch getrennt. Sind also I, J,
die Grenzpunkte von [44], so sind [OI], [OJ], die in {OA, 4,} ge-
legenen Grenzgeraden von O. In derselben Ebene liegt aber [OI], also
ist I entweder = I, oder =J₂, also mit IJIJ in einer Ebene; dem-
nach liegen alle Grenzpunkte der Grenzgeraden von O in einer Ebene.
Ist J irgend ein Grenzpunkt dieser Ebene, so folgt ebenso, daß [OJ]
Grenzgerade ist. Ist P irgend ein eigentlicher Punkt dieser Ebene,