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IV. Affine Geometrie.
und es folgt (III 12, Folg.) VZ, getrennt durch II, also sicher
Z₂+V, also W' nicht auf [VW].
118. Satz: Es gibt außer der Identität keine Affinität, in welcher
jeder Grenzpunkt sich selbst entspricht.
Beweis: Ist A irgend ein Punkt, kein Grenzpunkt, und sind
[IJ], [J] zwei eigentliche Gerade desselben, so entsprechen in einer
Affinität, in welcher die Grenzpunkte I, J, I₁, J₁ sich selbst ent-
sprechen, auch die Geraden [IJ], [4], also auch ihr Schnittpunkt
A = ([IJ][45])
sich selbst; dieselbe ist also die Identität.
119. Satz: In einer eigentlichen Ebene sind die eigentlichen und
uneigentlichen Geraden eines uneigentlichen Punktes so geordnet, daß
nie zwei eigentliche durch zwei uneigentliche Geraden getrennt sind.
Beweis: Sind A, B eigentliche Punkte und wären die eigent-
lichen Geraden [UA], [UB] des uneigentlichen Punktes U getrennt
durch die uneigentlichen Geraden [UV], [UW], wo V, W auf [AB]
liegen, so wären die eigentlichen Punkte A, B durch die uneigent-
lichen V, W getrennt, gegen 25.
120. Definition: Eine Gerade, die genau einen Grenzpunkt
enthält, heißt „Grenzgerade".
121. Satz: Durch jeden uneigentlichen Punkt, der nicht Grenz-
punkt ist, gehen in einer eigentlichen Ebene genau zwei Grenzgerade.
Beweis: Durch eine eigentliche Gerade A des uneigentlichen
Punktes O und eine uneigentliche Gerade 1 werden in der Ebene
{AU} alle Geraden von O in zwei Klassen geteilt. Es sollen die
mit einer bestimmten eigentlichen Geraden B von O und {A} in
derselben Klasse befindlichen eigentlichen Geraden durch B, B', B",
die in der anderen Klasse befindlichen durch C, C', C", ... bezeichnet
werden. Dann definiere man eine Gerade & und eine Gerade H durch
die Anordnungsbeziehungen: es sei AG, BW getrennt und AH, CW
getrennt für alle eigentlichen Geraden B, C (A) des Punktes O
und für alle uneigentlichen Geraden W, für welche uneigentliche Ge-
rade W´existieren, so daß AW', BW, resp. AW', CW getrennt sind.
Die Widerspruchlosigkeit dieser Bedingungen folgt genau wie in
105; die Existenz der Geraden G, H auf Grund der Stetigkeit wie in
107, die Eindeutigkeit derselben wie in 108, ferner wie in 106, daß
diese Geraden uneigentlich sind.
Für die Gerade (z. B.) und jede uneigentliche Gerade W von
O gilt jetzt entweder AG, BW getrennt, oder es existiert keine un-
eigentliche Gerade W', so daß