Art. 117.
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punkt ist, gehen mehrere uneigentliche Geraden; oder durch zwei sich
nicht schneidende Geraden einer Ebene kann man mehrere Paare sich
nicht schneidender Ebenen legen.
Beweis (s. Fig.): Man verbinde den uneigentlichen Punkt V mit
einem eigentlichen Punkt und erhalte die eigentliche Gerade mit den
Grenzpunkten JJ; dann
verbinde man V mit einem
nicht auf [JJ] gelegenen
eigentlichen Punkt und er-
halte die eigentliche Ge-
rade mit den Grenzpunkten
II. Dann ist nach 116
von den beiden Punkten
U = ([IJ][45]),
W = ([IJ₁][1,J])
V
X
B
=
WZ
Z
einer eigentlich, der andere
uneigentlich. Ist z. B. U
eigentlich, W uneigentlich, so behaupten wir, daß die Gerade [VW]
uneigentlich ist. In der Tat, ist PV, W ein beliebiger Punkt
auf ihr, und ist
W
X = ([JJ][UP]),
Y=([IL][UP])
X₁ = ([IJ₁][UP]), Y₁=([[J][UP]),
so folgt wie in 116, daß von den Paaren XY und X₁Y₁ das eine
eigentlich, das andere uneigentlich ist. Da nun P von dem eigent-
lichen Punkte U durch jedes der Paare XY, X₁₁, von denen eins
uneigentlich ist, getrennt wird, so muß P, also jeder Punkt der
Geraden [VW] uneigentlich sein.
Eine von [VW] verschiedene uneigentliche Gerade [VW'] des
Punktes V erhält man, wenn man statt der Punkte J, J, die Grenz-
punkte J', J der eigentlichen Geraden [VU] verwendet, also
W'= ([1₁J'] [IJ']
setzt. Daß aber wirklich [VW']+[VW] ist, erkennt man wie folgt.
Es sei A ([IJ][UV]), B=([LJ][UV]), und VJ'AUBJ' in
dieser Folge. Ferner sei Z=([WT][W'1]), Z₁ = ([WI₁] [W'I]),
Z₂ = ([IL] [WW']. Dann ergibt die Reihenfolge VJAU (mit
JA) durch Projektion von I aus die Folge IZ₁ WJ, aus der
schon Z₁W, also W'W folgt. Ebenso ergibt sich die Folge
IZWJ₁; demnach ist W' von [J] getrennt durch das Tripel II W
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