Art. 99-101.
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liegenden Teile im gewöhnlichen Sinne des Wortes parallel sind, zwei
Strecken AB A'B' zweier Geraden als gleich, wenn im Sinne der
eben gegebenen Definition [AB] || [A'B'], [A A']||[BB′] ist. Dann
soll gezeigt werden; daß den Forderungen AB A′ B′, AB = A″ B",
A'B',
A"
A'B' = A"B" bei gegebenem A, A', B', A", B" unter Umständen
durch keinen Punkt B genügt werden kann.
=
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Man wähle den Punkt A auf dem Umfang des Kreises x² + y² = 1,
einen Punkt B₁ auf einer Sehne (keinem Durchmesser) AC, zwischen
A und C, ziehe die Zentralen [AOA'], [B₁0B"], und wähle die
Strecken A"B", A'B' außerhalb des Kreises so, daß im gewöhnlichen
Sinn des Wortes die Strecken AB₁, A'B', A″ B" gleich und parallel
sind. Schneiden sich dann die Nicht-Desarguesschen Geraden [AC]
und [BB] im Punkte B, so ist nach Definition die Nicht-Desar-
guessche Strecke AB A'B'; sie müßte also auch gleich A"B" sein,
d. h. es müßte B auf [BO] liegen. Nun ist B₁ das Potenzzentrum
der drei vorkommenden Kreise, als Schnittpunkt der Potenzaxen
[AC], [B' B₁] zweier von ihnen mit dem dritten. Also müßte [BB₁]
die dritte Potenzaxe, also O ein Punkt gleicher Potenzen der beiden
zu den Nicht-Desarguesschen Geraden [AC], [B'B₁] gehörenden Kreise
sein. Sind
-
=
=
2p (x² + y² − 1) + (ax + by + p)
2, (x² + y² − 1) + (cx + dy + q) = 0
die Gleichungen derselben, so müßten die Potenzen im Punkte
0 (x = 0, y
0), nämlich
p
1
9
2p
•
1
―
q
λα
1 q
λα
einander gleich sein. Nimmt man die eine der Geraden [AC] als
gegeben an, so kann der Abstand g der andern von O noch will-
kürlich gewählt werden, und es kann nicht bei jeder Wahl von q
-
-
1
=
-
=
p
λp
0
sein, da sonst 2,q const. wäre, was ausgeschlossen war.
Չ
101. Infolgedessen entsteht die Frage nach der Beweisbarkeit
des ebenen Desarguesschen Satzes auf Grund des affinen Grundsatzes
der Meßbarkeit (99), wenn darin die Gleichheit von Strecken einer
Geraden anderweitig, aber jedenfalls so definiert wird, daß durch
AA
¸Â₁ = ¸ ø und A, A, der dritte Punkt A, eindeutig bestimmt
ist. Die Unabhängigkeit des Desarguesschen Satzes von dem so
aufgefaßten Grundsatz der Meßbarkeit folgt ohue weiteres aus