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IV. Affine Geometrie.
a
b
wozu noch nötig war, daß jedes Element mit beliebig gewähltem
Zähler oder Nenner repräsentiert werden konnte. Für eine Gruppe
a, b, c,... von „allgemeinen Spiegelungen", d. h. Verwandtschaften,
für welche a², b2, c², ... der Identität gleich sind, werden die Quo-
tienten den Produkten ab gleich und man erhält Wieners „zwei-
spiegelige" Verwandtschaften*), bei denen aber hier nicht bloß nach
der Gruppeneigenschaft, sondern nach der Zahlensystemeigenschaft
gefragt wird. Aber die Einführung der Quotienten von Verwandt-
schaften statt der Produkte von Spiegelungen ist der weitertragende
Gedanke. So sind z. B. die Vektoren (nach 67) zweispiegelige Ver-
wandtschaften, die gebundenen Tensoren (nach 96) nicht, wohl aber
Quotienten von Verwandtschaften.
Die Rechnungen mit Vektoren und mit gebundenen Tensoren
können als die beiden einfachsten Fälle von Lösungen des Problems
angesehen werden:
a
b
Zahlensysteme von Projektivitäten aufzustellen.
Weitere Fälle von Lösungen werden sich in der metrischen Geo-
metrie ergeben.
99. Mit Rücksicht auf 48, 49 geht der projektive Grundsatz
der Meßbarkeit in den folgenden „affinen Grundsatz der Meßbar-
keit" über.
Liegt A zwischen A。 und X und macht man
=
Ax-14k
k
A₁₁ A₁ A Ag Ag
so gibt es eine ganze Zahl k, so daß X zwischen A, und A, liegt.
Für diesen Satz und seine Konsequenzen gelten also alle in der
projektiven Geometrie für den projektiven Grundsatz der Meßbarkeit
ausgesprochenen Sätze. Insbesondere wird durch ihn der Pascalsche
Satz beweisbar.
=
-
=
100. In dem affinen Grundsatz der Meßbarkeit (99) haben die
Gleichungen
A₁₁ = А₁₂ = usw.
AA1
A2
nur Bedeutung im Sinne der Definitionen 41, 44, deren Zulässigkeit
in der Ebene nur unter Voraussetzung des Desarguesschen Satzes
nachgewiesen wurde (42, 45) und nachgewiesen werden konnte. Um
letzteres zu zeigen, definieren wir zwei Gerade der Nicht-Desarguesschen
Geometrie (s. II 59 S. 68) als parallel, wenn ihre außerhalb des Kreises
*) Wiener, Leipz. Akad. Ber., Math. phys. Kl. 43 (1891) p. 644.