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IV. Affine Geometrie.
68. Satz: Die Vektoren (Schiebungen) bilden ein singuläres
Zahlensystem, in welchem die Addition und Multiplikation assoziativ,
kommutativ und distributiv sind; Vektordifferenzen sind singulär.
Beweis: Das Bestehen des assoziativen und kommutativen Ge-
setzes für die Multiplikation folgt aus 57, 58, für die Addition aus 65,
für die distributativen Gesetze folgendermaßen:
Um
zu beweisen, wo die Vektoren nach 43, 46 auf denselben Anfangs- resp.
Endpunkt E gebracht sind, genügt es, mit Rücksicht auf E² = 1, zu
zeigen, daß
A · (B + C) = A · B+ A · C
AB = BB', AC=CC', BM= MC, B'D DC',
AB
ist. Dazu sei
AE (E B E · C) = A · B + A · C
· · ·
also
dann ist
also
und auch
·
CD, AC = BD;
B+C=2M,
A. (BC) 4AM = 2AD
A.BA.CAB'+ AC' = 2 AD.
Das zweite distributive Gesetz:
·
(B + C) · A = B⋅ A+ C⋅ A
folgt aus dem ersten vermittelst
ABB. A.*)
Vektordifferenzen sind singulär, denn es wird z. B.
-
·
(A · E — B · E) (E . C — E · D) = (A — B) (C — D) = 0 (s. 66).
69. Definition: Eine Affinität, in welcher jeder uneigentliche
Punkt und ein eigentlicher Punkt S sich selbst entsprechen, heißt
,,Dehnung" oder im speziellen „Spiegeldehnung", je nachdem der feste
Punkt S nicht zwischen oder zwischen je zwei entsprechenden Punkten
A, A' liegt. Eine Spiegeldehnung kann als aus einer Dehnung und einer
Spiegelung zusammengesetzt angesehen werden.
-
*) Eine Multiplikation dieser Art heißt,,äußere" resp.,,kombinatorische"
bei Graßmann (Die Ausdehnungslehre, Berlin 1862, Kap. 3 § 1 u. 3 Ges. Werke
Bd. I, 2 p. 38 u. 56), „alternierend" bei Hankel (Vorlesungen über die komplexen
Zahlen, Leipzig 1867, p. 119), „polar" bei Sylvester (American Journal of Mathe-
matics I p. 127 u. 257), im Gegensatz zur „,skalaren“ mit A · B = B· A (Clifford,
American Journal of Mathematics I p. 350 Mathematical Papers, London 1882,
p. 266).