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IV. Affine Geometrie.
werden.*) Demnach findet die Spiegelungsgleichung A + B = C + D
statt, wenn die Vektoren AC und DB gleich sind. Für C=D=M
erhält man A+B=2 M als Beziehung zwischen den Spiegelungen
A, B, M. Man hat also zwar nicht A+ A A zu setzen, wohl aber
stimmen die durch A+ A und A repräsentierten Spiegelungen über-
ein. Durch 2M – A B wird die aus A und M abzuleitende
Spiegelung B erklärt. Jedes Punktaggregat a A + B B+yC + ···
mit positiven oder negativen ganzen Zahlen a, ẞ, y, ... wird wie
folgt unter Voraussetzung des assoziativen und kommutativen Gesetzes
(s. 65) auf ein Aggregat reduziert, welches nur einen oder zwei Punkte
enthält:
―
-
Wenn a und ẞ beide positiv sind (ebenso wenn beide negativ
sind) und z. B. ẞa ist, so setze man
x A + B B
ist z. B. a positiv und
α A — BB = (α − 2 ß) A + ß (2 A — B).
α. 2 M + (ẞ — α) B;
·
ẞ negativ und a> ẞ, so setze man
-
-
=
Hierdurch können alle Koeffizienten bis auf einen resp. zwei beständig
absolut verkleinert, also schließlich annulliert werden, und man erhält
entweder:
=
α A + B B+
oder, falls die Koeffizientensumme verschwindet,
a A+BB+ 1Ꮪ -- ᎿᎢ ,
=
=
(α + B+ ...) S
=
und solche Ausdrücke können nicht weiter reduziert werden; die-
selben heißen „uneigentliche" Spiegelungen.
65. Satz: Die Spiegelungen bilden eine Gruppe, und zwar ist
die Addition der Spiegelungen assoziativ und kommutativ.
Beweis: Daß sie kommutativ ist, ist evident; denn der Mittel-
punkt M von AB wird durch AM MB definiert, woraus BM = MA
folgt, d. h. es ist M auch Mittelpunkt von BA. Um auch das asso-
ziative Gesetz zu beweisen:
(A + B) + C = A + (B+ C),
sei AM = MB, BN= NC, S=([AN][CM]), [NP]|[MQ] [BS],
P auf [CM], Q auf [AN]. Dann folgt (50): CPPS, AQ=QS;
*) Mit Punktgrößen, aber ohne Interpretation derselben als Spiegelungen,
rechnen ähnlich auch Möbius (Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, Cap. II =
Ges. Werke Bd. I p. 36 ff.) und Graßmann (Geometrische Analyse, Leipzig 1847
Ges. Werke Bd. I p. 321; Die Ausdehnungslehre, Berlin 1862, Art 222 ff. Ges.
Werke Bd. I, 2 p. 151).
=
=