188
IV. Affine Geometrie.
in ihrem Mittelpunkte (54); ebenso schneiden sich, wegen BA' = B″ A",
[BA""'] und [A′ B"] in ihren Mittelpunkten, also schneiden sich [BA"],
[B'A″] in ihren Mittelpunkten, also (54) ist [A″ B]||[A"" B′], also
A″ A"" = BB', also AA' = BB'.
56. Satz: Die Vektoren oder Schiebungen bilden eine Gruppe,
d. h. es besteht für dieselbe eine Komposition derart, daß gleiche
Vektoren sich zu gleichen Vektoren komponieren.
Beweis: Man definiere AC als die Summe der Vektoren AB
und BC, in Zeichen AB + BC= AC*). Ist nun AB = A'B',
BC= B'C', so ist auch AC A'C', denn aus AB A'B' folgt (55)
AA' = BB', aus BC= B'C' folgt BB' = CC', aus AA' BB',
BB' = CC′ folgt (45) AA′ = CC′ und daraus AC A'C', was zu
beweisen war.
und
Beweis: Es ist
Es ist
Zusatz: Ebenso folgt aus AB-A'B', AC-A'C' stets BC=B'C'.
57. Satz: Für die Komposition der Vektoren gilt das assoziative
Gesetz.
=
=
-**
·
(AB+BC) + CD = AC+ CD AD
=
=
*
AB+ (BC+CD) = AB + BD = AD.
58. Satz: Für die Komposition der Vektoren gilt das kommu-
tative Gesetz.
B'C,
Beweis: Sei AB' = BC (43, 46), so ist (55) AB =
also wird
ABBC AC AB' + B'C =
BCAB.
59. Satz: Alle Vektoren AA sind als einander gleich zu be-
trachten und gleich Null zu setzen, da sie das Kompositionsresultat
ungeändert lassen; und keine anderen Vektoren haben diese Eigen-
schaft. Aus AB BC = AB + BD folgt BC BD. Es ist
AB=- BA zu setzen. (Die Schiebung AA ist die „Identität“.)
Beweis: Es ist
AAAB+ BA = BA + AB = BB.
=
==
=
AB+ BB = AB.
=
Ist AB BC AB, also AC AB, und wäre DE AB und
DE=AC, DE nicht auf [AB], so folgte [EB]|[DA], [EC]||[DA]
=
*) Caspar Wessel, Essai sur la représentation analytique de la direction,
Kopenhagen 1799. 1897; Argand, Essai sur une manière de représenter les quan-
tités imaginaires dans les constructions géométriques, Paris 1806.
1