Art. 46-55.
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eigentlichen) Geraden, demnach gehen [AA], [BB′], [CC'] durch
einen Punkt, der aber wegen [AA′]||[BB′] uneigentlich ist; demnach
ist auch [AA']||[BB′]||[CC'], also AC = A'C', BC = B'C'.
Jeder der anderen Fälle wird durch zweimalige Anwendung des
Vorstehenden bewiesen, indem man A″ nicht auf [AB], [BC], [CA],
[A'B'], [B'C'], [C'A'] wählt und A"B" AB, [A"C"]|[AC],
[B"C"] [BC] zieht. Der Schnittpunkt C" ist vorhanden, denn
sonst wäre [AC]||[A″ C″]||[B"C"]||[BC], was nur für C in [AB]
möglich wäre; das war ausgeschlossen.
51. Satz: Ist AB = A'B', [AA]||[BB] | [A'A,']||[B'B'],
[A₁B₁]||[A,'B₁'], so ist A, B, A'B'.
Beweis: Sei BC= A₁A, B'C'
A₁A, B'C' = A₁'A', so folgt A₁ B₁ = AC,
A'BA'C', AC A'C' (50), also A, B, A'B'.
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52. Satz: Ist AB BC, AB' = B'C', so ist [BB'] [CC'].
Beweis: Sei A, nicht auf [AB] oder [AB'], aber in BAB'},
ÁВ=АB‚ ÃВ'= AB'‚ ø=([AA][CB。]), A₁'′ = ([AA][C′ B。′]),
so ist AA A¼¸ und = A₁₁', also (46) A₁ = A₁', so gibt der
Desarguessche Satz aus den beiden Dreiecken АBB', ¸СС', daß
[CC']|[BB'] ist.
53. Aufgabe: Den Mittelpunkt eines Vektors AC zu kon-
struieren.
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Lösung: Man nehme F nicht auf [AC], mache AF FE, (46)
[FB] [EC], B auf [AC]. B existiert, denn sonst wäre
[AC]||[FB]||[EC],
also [AC] = [EC], also F auf [AC], gegen die Annahme. Es ist
AB=BC nach 51; B ist eindeutig bestimmt, denn wäre auch
AB₁
BC, so wäre (52) auch [FB] [EC], also gäbe es durch F
zwei Parallelen zu [EC]; gegen 36.
·
54. Satz: Ist AM = MB', [AB]|[A'B'], A'MB in einer
Geraden, so ist BM= MA'. Umgekehrt, ist AM = MB', BM= MA',
so ist [AB][A'B′].
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―
1
Beweis: Die erste Behauptung folgt aus 50, die Umkehrung
folgendermaßen. Sei AM = MB', [B'A₁] [AB], A, auf MB, so
ist nach vorhergehendem BM MA, und nach Voraussetzung -
MA',
also A, A', d. h. [B'A'] [AB].
=
= ·
55. Satz: Ist ABA'B', so ist AA' BB'.
Beweis: Liegen beide Vektoren auf verschiedenen Geraden, so
folgt die Behauptung sofort aus der Definition 41. Liegen sie
auf derselben Geraden, so wähle man außerhalb derselben A" B' = AB,
A" A""AA'. Wegen A'B' A"B" schneiden sich [A'B"], [B'A"]
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