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IV. Affine Geometrie.
Punkten stets eigentliche, den uneigentlichen uneigentliche entsprechen,
heißt eine „Affinität“.
Beobachtet man nun die Bewegung eines sogenannten starren
Körpers, so bemerkt man erstens: Vier beliebige Punkte des Körpers,
die in keiner Ebene liegen, gehen durch die Bewegung in vier Punkte
über, die ebenfalls in keiner Ebene liegen; zweitens: zwei sich schneidende
Gerade des Körpers gehen durch die Bewegung in zwei sich schnei-
dende Geraden über. Die erste Eigenschaft der Bewegung charak-
terisiert dieselbe als Kollinearität; in der Tat, ordnet man den fünf
beliebigen Punkten A, A1, A2, A3, E des Körpers, von denen keine
vier in einer Ebene liegen, diejenigen fünf Punkte zu A, A1, A2, A3, E,
in welche dieselben durch die Bewegung übergehen, alsdann den
Punkten P auf [44] die Punkte P₁ auf [øõ], so daß
፩
h
(PEAA) = (P„Ē‚ÂÂ)
(h = 1, 2, 3)
h h 0
0
ist, schließlich dem Punkte (nicht in A4, A})
P = ({ P¸¹₁₂} {P₁A,A。} {P₂A。A₁})
1 2
2
den Punkt
2
-2
2
P = ({P¸Ã‚Â} {P¸Ã‚Ã。} {Р‚Ã‚Ã‚}),
und analog für die in {¸¸Â} gelegenen Punkte, so wird hier-
durch eine Kollinearität im Raume hergestellt, in welcher jedem
Punkte P des Körpers der ihm durch die Bewegung entsprechende
Punkt des Körpers zugeordnet ist.
Der zweiten Eigenschaft zufolge geht durch die Bewegung jeder
eigentliche Punkt in einen eigentlichen Punkt, also, durch Betrachtung
der umgekehrten Bewegung, jeder uneigentliche Punkt in einen un-
eigentlichen über, d. h. die Bewegung ist eine Affinität.
Nimmt man drittens noch hinzu, daß man z. B. ein Lineal, d. h.
einen Körper, dessen Oberfläche eine Ebene und in ihr eine gerad-
linige Kante enthält, in einer beliebigen Ebene an eine beliebige Ge-
rade beliebig anlegen kann, so erhält man, aus der Tatsache der Be-
wegung abgeleitet, den Grundsatz:
35. Grundsatz: Es gibt Affinitäten, in denen eine beliebig ge-
gebene Gerade einer beliebig gegebenen Geraden H, einem beliebig
gegebenen Punkte von ein beliebig gegebener Punkt von 5, einer
beliebig gegebenen Ebene von & eine beliebig gegebene Ebene von
5 entspricht.
Mit diesem Grundsatz ist natürlich nicht der volle geometrische
Inhalt der Bewegung starrer Körper erschöpft; er repräsentiert viel-
mehr nur den „graphischen" Teil desselben, zu welchem später noch
der,,metrische" hinzutritt. Aber dieser Grundsatz genügt, um den