Art. 24-25.
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und H. Schließlich ergibt sich der gesuchte Punkt als Schnittpunkt der
beiden eigentlichen Geraden P und [PP₁]; denn da [PA], [P₁A₁], [P₂A2]
durch einen Punkt (0) gehen, so liegen Q, R, S auf einer Geraden.
Zweitens beweist man:
c) Eine eigentliche oder uneigentliche Gerade P und eine zweite
eigentliche oder uneigentliche Gerade [QR] schneiden sich in einem
Punkte.
Man wähle einen eigentlichen Punkt A, ziehe (nach a) die
eigentlichen Geraden [A, Q] = &, [A,R] = G₁, bestimme (nach b) die
uneigentlichen Schnittpunkte A = (PG), A₁ = (PG₁), ziehe die eigent-
liche Gerade [PQ]=, durch einen eigentlichen Punkt P₂ derselben
die eigentliche Gerade [PR] =₁, bestimme den Schnittpunkt
0 ([AP][A, P₂]), dann (nach b) den Schnittpunkt P₁ = ([OA₁] §₁),
schließlich den Schnittpunkt S (P[QR]) = (P₁[PP₁]) (nach b).
=
Damit ist gezeigt, daß man durch Schneiden zweier eigentlichen
oder uneigentlichen Geraden stets wieder einen Punkt enthält, der als
Schnittpunkt zweier eigentlichen Geraden aufgefaßt werden kann.
Andererseits ergeben sich nach Voraussetzung durch Verbinden zweier
eigentlichen Punkte eine eigentliche, durch Verbinden zweier uneigent-
lichen Punkte (GH), (G’H′) eine Gerade [(GH) (G'H')] und nach a)
durch Verbinden eines eigentlichen und eines uneigentlichen Punktes
eine eigentliche Gerade, also allgemein durch Verbinden und Schneiden
aus den angegebenen eigentlichen und uneigentlichen Elementen nur
Elemente derselben Art; was zu beweisen war.
=
Die Anordnungssätze der uneigentlichen Elemente.
Daß die eigentlichen und uneigentlichen Punkte einer eigentlichen
oder uneigentlichen Geraden denselben Anordnungsgesetzen unterliegen,
die wir vor Unterscheidung der eigentlichen und uneigentlichen Punkte
aufgestellt hatten, ergibt sich ohne weiteres daraus, daß dieselben den
durch sie gehenden Geraden eines Büschels eindeutig zugeordnet werden
können; und diese sind nach 4 alle eigentlich, werden also in ihrer
Anordnung von der Einführung der uneigentlichen Elemente nicht be-
rührt. Aber es gilt für die Ordnungsbeziehungen der eigentlichen
und uneigentlichen Punkte ein neuer Grundsatz, der „Anordnungs-
grundsatz der uneigentlichen Punkte".
25. Grundsatz: Zwei eigentliche und zwei uneigentliche Punkte
einer Geraden trennen sich nicht.
Man entnimmt diesen Grundsatz der Erfahrung. In der Tat,
sind A, B zwei eigentliche, (GH) ein uneigentlicher Punkt auf der
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