Art. 12-24.
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19. Satz: Eine eigentliche Gerade & [AB] und eine un-
eigentliche Ebene E = {PQR) haben genau einen Schnittpunkt.
Beweis: Man bestimme nach 11 die eigentliche Ebene (PG},
nach 7 die uneigentliche Gerade [QR], nach 18 den Schnittpunkt
S=({PG} [QR), nach 7 die Gerade [SP], nach 17 den Schnitt-
punkt ([SP]&); dies ist der gesuchte.
20. Satz: Eine eigentliche Ebene A und eine uneigentliche
Ebene (PQR) haben genau eine Schnittgerade.
Beweis: Man bestimme nach 7 die Geraden [PQ], [PR], nach
18 die Punkte (A[PQ]), (^[PR]), nach 6 oder 7 die Gerade
[(^[PQ]) (^[PR])]; dies ist die gesuchte.
=
21. Satz: Eine uneigentliche Gerade [AB] und eine uneigent-
liche Ebene E haben genau einen Schnittpunkt.
Beweis: Man bestimme nach 20 die Schnittgerade [AE], lege
durch einen eigentlichen Punkt O die eigentliche Ebene {O [AE]}= ▲
(nach 11), dann ist der Schnittpunkt ([AA] [BA]) nach 17 zu be-
stimmen.
22. Satz: Zwei verschiedene uneigentliche Ebenen E, ▲ haben
genau eine Schnittgerade.
Beweis: Es seien A, B eigentliche Ebenen; man bestimme nach 20
[AE], [AA], [BE], [BA], dann nach 17 die Punkte ([AE] [A▲]),
([BE][BA]), dann nach 7 die gesuchte Schnittgerade:
[([AE] [A▲]) ([BE] [BA])].
23. Satz: Drei Ebenen A, B, г, die nicht durch eine Gerade
gehen und die nicht alle drei eigentlich sind, haben genau einen
Schnittpunkt.
Beweis: Man bestimme, eventuell nach 20 oder 22, die Schnitt-
gerade [B], dann nach 18 oder 19 oder 21 den gesuchten Schnitt-
punkt (A [Bг]) = (ABг).
24. Damit ist die Gültigkeit der sämtlichen ebenen und räum-
lichen Verknüpfungsgrundsätze nachgewiesen. Für die Ebene allein
erhält man dies Resultat, indem man alle eigentlichen Punkte P und
Geraden derselben mit einem außerhalb derselben liegenden Punkte
O verbindet. Dann wird auch jedem uneigentlichen Punkte (GH)
eine eigentliche Gerade von O, nämlich [{0} {0§}] und jeder
uneigentlichen Geraden [(GH) (G₁₁)] eine eigentliche Ebene von 0,
nämlich {[{0} {0H}][{0G₁}{0H₁}]} zugeordnet, und das Be-
stehen der ebenen Verknüpfungssätze folgt aus dem Bestehen dieser
Sätze im Bündel, welches ja nach 4 keine uneigentlichen Elemente
enthält. Will man für die Geometrie der Ebene ohne Bezugnahme
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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