Art. 72-78.
169
Beweis: Der Desarguessche Satz im Raume wurde in II 57 (S. 67)
bloß auf Grund der Verknüpfungssätze bewiesen; da diese Grundsätze,
nach 67 bis 74, auch nach Hinzunahme der imaginären Elemente
gelten, bleibt der dort gegebene Beweis hierfür wörtlich gültig. Gilt
für die reellen Elemente einer Ebene der Desarguessche Satz, so
kann dieselbe als Schnitt eines Raumes aufgefaßt werden. In diesem
gilt dann der Desarguessche Satz auch für die imaginären Elemente,
also auch für die der Ebene.
76. Satz: Für die Gesamtheit der reellen und imaginären Ele-
mente des Raumes gilt der Pascalsche Satz, wenn er für die reellen
Elemente gilt.
Beweis: Der Pascalsche Satz für nicht lauter reelle Elemente
läßt sich immer als Schließungssatz für lauter reelle Elemente aus-
sprechen, da jedes imaginäre Element durch ein Tripel reeller Elemente
repräsentiert wird; und jeder Schließungssatz für reelle Elemente ist.
(II 138 S. 129) auf Grund des Pascalschen Satzes beweisbar.
77. Satz: Gilt für die reellen Elemente des Raumes oder der
Desarguesschen Ebene der Pascalsche Satz, so gelten für die reellen
und imaginären Elemente alle Schließungssätze.
Beweis folgt aus 75, 76 und II 138 (S. 129).
78. Im vorstehenden ist bewiesen worden, daß nach Einführung
der imaginären Elemente alle Verknüpfungssätze unverändert ihre
Gültigkeit behalten. Nicht dasselbe gilt für die Anordnungssätze.
Vielmehr erkennt man, am einfachsten nach Einführung von Koordi-
naten, daß für die imaginären Punkte einer Geraden z. B. nicht mehr
lineare, sondern planare Anordnung besteht (vgl. I 20 S. 10). Dasselbe
kann man auf geometrischem Wege erkennen, indem man die imagi-
nären Punkte einer reellen Geraden nach 59 durch ein Punkttripel
OPQ mit festem Punkte 0, also durch ein Punktpaar PQ repräsen-
tiert und diese Paare vermittelst des Hesseschen*) Übertragungs-
prinzips den Punkten der Ebene zuordnet. Dann ergibt sich auch
leicht, daß die für reelle Elemente geltenden linearen Grundsätze der
relativen Dichte, der Meßbarkeit, der Stetigkeit entsprechende planare
Sätze für die imaginären Elemente nach sich ziehen, daß also die
Einführung der imaginären Elemente die Einführung keines neuen
Grundsatzes erfordert. Daß aber das System der reellen und imagi-
nären Elemente keiner nochmaligen Erweiterung fähig ist, wenn man
das Fortbestehen aller Verknüpfungssätze fordert, geht nach Einfüh-
rung von Koordinaten aus I 153 (S. 51) hervor.
=
―――
*) L. O. Hesse, Ein Übertragungsprinzip (Ges. Werke, München 1897, S. 531 ff.
Crelles Journal Bd. 66, 1866, p. 15 ff.).