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III. Projektive Geometrie.
(CE)) der Schnittpunkt. Im andern Fall sei eine Transversale von
A, B, C; dann ist [[{SA}E] [{SB}E] [{C}E]] eine Gerade des
Schnittpunkts. Ebenso findet man eine zweite, dann nach 69 ihren
Schnittpunkt. Die Eindeutigkeit des Schnittpunktes ergibt sich leicht
aus den Definitionen.
72. Satz: Eine imaginäre Gerade hat mit einem nicht auf ihr
liegenden reellen Punkt genau eine Verbindungsebene.
Beweis: Dual zu 71.
73. Satz: Drei Punkte keiner Geraden, auch wenn sie nicht
alle reell sind, oder eine Gerade und ein Punkt nicht auf ihr, auch
wenn nicht beide reell sind, oder zwei verschiedene Gerade eines
Punktes, auch wenn nicht beide reell sind, haben genau eine Verbin-
dungsebene.
Beweis: Es seien (ABC), (A'B'C'), (A″ B″C") die drei Punkte;
liegen erstens die drei Geraden [ABC], [A'B'C′], [A″ B"C"] in einer
reellen Ebene, so ist dies die Verbindungsebene. Liegen zweitens
nur zwei der drei Geraden, z. B. [A′B′ C′], [A″ B"C"] in einer reellen
Ebene E, so kann man mit Rücksicht auf 59 annehmen, daß A' = A″
ist und A in E liegt. Dann existiert die Verbindungsgerade [ABC]
der beiden Punkte in E, von der man annehmen kann, daß A durch
A geht. Dann ist
{{A[{BB} {CC}]} {BB} {CC}}
die Verbindungsebene. Liegen drittens je zwei der drei Geraden.
[ABC], [A'B'C′], [A″ B″ C″] in keiner reellen Ebene, so bringe man
irgend zwei der drei Verbindungsgeraden
[[AA'][BB′][CC']], [[AA″][BB″][CC"]], [[A′A″][B´B´'][C′0″]]
mit einer reellen Ebene zum Schnitt (71); bestimme nach 67 ihre
Verbindungsgerade. Der reelle Punkt derselben ist ein Punkt der ge-
suchten Ebene; letztere wird dann aus diesem reellen Punkt und einer
der drei imaginären Graden (nach 72) gefunden.
74. Satz: Drei Ebenen keiner Geraden, auch wenn sie nicht alle
reell sind, oder eine Gerade und eine nicht durch sie gehende Ebene,
auch wenn nicht beide reell sind, oder zwei verschiedene Gerade einer
Ebene, auch wenn nicht beide reell sind, haben genau eine Verbin-
dungsebene.
Beweis: Dual zu 73.
75. Satz: Für die Gesamtheit der reellen und imaginären Ele-
mente des Raumes oder der Desarguesschen Ebene gilt der Desar-
guessche Satz.