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III. Projektive Geometrie.
Also folgt aus
zunächst
{ΑΒΓ}={Α΄ Β΄ Γ΄,
(ABC) = (A'B'C'),
also (58)
A'ABC B' BCA = C'CAB,
=
also (II 149 S. 135)
A'ABг Β΄ΒΓΑ
Γ’ΓΑΒ
und umgekehrt.
62. Satz: Eine imaginäre Ebene (ABI) kann stets durch ein
Tripel {P} eindeutig repräsentiert werden, von dem eine ge-
gebene Ebene der Geraden [AB] ist.
Beweis: Man konstruiere TT, P aus
dann ist
=
=
ΠΒΓΑ – ΩΑΒΓ, ΡΓΑΒ = ΩΑΒΓ;
=
:
{ABг} = {SπP}
(nach 61) und die Ebenen T, P ergeben sich eindeutig (II 118 S. 112
und 149 S. 135).
63. Satz: Haben vier Gerade ABCD mehr als zwei, also beliebig
viele Transversalen, so ist der Wurf der vier Schnittpunkte auf jeder
Transversalen derselbe.
Beweis: Sind ABCD, A'B'C'D', A" B" C"D" die Schnittpunkte
von ABCD mit drei Transversalen 6, 6, 6", und sind A'B°C°D"
die Schnittpunkte von [A'D″] mit den vier Ebenen {GA'}, {GB'},
{GC'}, {GD'}, so ist A'B'C'D' λ A'B° C° D" λ A"B"C"D"
also (II 140 S. 130)
A'B'C'D' = - A" B"C"D".
64. Definition: Haben vier Gerade ABCD mehr als zwei,
also beliebig viele Transversalen, so heißt der Wurf der vier Schnitt-
punkte irgend einer Transversalen Wurf der vier Geraden ABCD.
65. Satz: Zwei imaginäre Gerade ABC, A'B'C' sind identisch,
wenn und nur wenn die vier Würfe
A'ABC, B'BCD, C´CAB
existieren und gleich sind.
Beweis: Ist die Bedingung erfüllt und sind ABCA'B'C' die
sechs Schnittpunkte. von ABCA'B'C' mit irgend einer der dann
existierenden Transversalen, so folgt (62):
A'ABC B' BCA = C'CAB,
also (58)
(ABC) = (A'B'C'),
=
: