164
III. Projektive Geometrie.
Paaren reeller Zahlen (s. I 109) oder als die beiden aequianharmonischen
Zahlen zu einem Tripel reeller Zahlen betrachtet werden kann, so
kann man in der Geometrie ein Paar konjugiert imaginärer Punkte
entweder durch zwei Paare reeller Punkte einer Geraden oder durch
ein Tripel reeller Punkte einer Geraden repräsentieren. Die erstere
Darstellung ist die v. Staudtsche; dieselbe soll die harmonische heißen.
Die zweite Darstellung ist einfacher; sie soll die aequianharmonische
heißen.*) Der Übergang von der einen zur andern ist der folgende.
Sind (ABC) drei Punkte, die einen imaginären Punkt in einer aequi-
anharmonischen Darstellung repräsentieren, und sind AA', BC harmo-
nische Paare, ebenso BB', AC und CC', AB, so repräsentieren irgend
zwei der drei Paare AA', BB, CC' den Punkt in einer harmonischen
Darstellung, von der man zu jeder andern solchen A₁₁', B₁ B' über-
geht, indem man Involutionen (AB A,
usw. bildet.
Α' Β' Α,
A₁;)
A'B'C'
Umgekehrt kann aber die aus ABC abgeleitete Involution (ABC)
aus zwei Paaren (4B) (z. B.) nur dann gewonnen werden, wenn der
A
A'B
-
Wurf AA'BB' 3 ist. Denn aus AA'BC
1
1, BB AC
folgt ABA'C2, ABCB'=2 also ABA'B' = 4, AA'BB' — — 3.
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so muß zunächst BB' durch ein
mit AA', BB' in Involution befindliches Paar ersetzt werden, für
welches die angegebene Bedingung besteht. Dann findet man C aus
BB'AC-1, und ABC als aequianharmonische Darstellung des-
selben imaginären Punktes. Die Auffindung eines solchen Paares BB'
ist zwar stets, aber nicht durch eine lineare Konstruktion möglich.
Die aequianharmonische Darstellung ist einfacher als die harmo-
nische, da sie von weniger Elementen abhängt und infolgedessen auch
die Darstellungen eines und desselben imaginären Elementes weniger
mannigfaltig sind. **) Daß eine Repräsentation eines imaginären Ele-
mentes durch bloß zwei reelle Elemente unmöglich ist, folgt aus der
in II 67 (S. 76) betrachteten singulären Geometrie.
-
-
―― ――
=
*) Dieselbe ist identisch mit der von Klein (Gött. Nachr. 1872 p. 373- Math.
Ann. 22, 1883, p. 242) vorgeschlagenen, von Lüroth (Math. Ann. 11, 1877, p. 84)
behandelten Auffassung der Paare konjugiert imaginärer Punkte als Doppel-
ABC
punktpaare zyklischer Projektivitäten (B); vgl. z. B. Schröter, Math. Ann. 10
(4
(1876) p. 420; Harnack, Zeitschr. f. Math. u. Phys. 22 (1877) p. 38.
**) Letzteres trifft allerdings nicht zu, wenn man zur harmonischen Dar-
stellung nur Paare eines speziellen Wurfes, z. B. AA′BB': - 3 (wie oben) oder
AA' BB':
1 (v. Staudt) verwendet.
-