Art. 53-56.
163
55. Der ebene Desarguessche Satz. Die gegebene Begrün-
dung der projektiven Geometrie bezieht sich zwar zunächst auf den
Raum; sie kann aber unmittelbar auf die Ebene übertragen werden,
wenn in dieser der Desarguessche Satz besteht. Um die ebene pro-
jektive Geometrie unabhängig vom Raume zu begründen, wäre es
also noch nötig, den Desarguesschen Satz mit Hilfe der neu einge-
führten Grundsätze zu beweisen. Dabei ist erstens zu bemerken, daß
der Grundsatz der Meßbarkeit nur in der Form ausgesprochen werden
darf: Das aus vier Punkten, deren keine drei in einer Geraden liegen,
abzuleitende Netz liegt auf jeder seiner Geraden relativ dicht. Denn
die Zurückführung der Netzpunkte auf durch bloße Harmonien er-
zeugbare Punkte setzte den zweiten Harmoniesatz, also den Desargues-
schen Satz, voraus. Zweitens ist zu beachten, daß hier nicht die
Meßbarkeit und die Stetigkeit den Grundsatz der relativen Dichte
einschließen, da die diesbezüglichen Beweise ebenfalls den Desargues-
schen Satz bereits voraussetzen. Die Unabhängigkeit des Desargues-
schen Satzes von den reinen Anordnungsgrundsätzen und der Stetigkeit
folgt ohne weiteres aus der in II 59 (S. 68) betrachteten Nicht-Desar-
guesschen Geometrie, wenn man in derselben ein reelles stetiges
Zahlensystem zugrunde legt. Ob aber in dieser Geometrie der Grund-
satz der relativen Dichte oder der der Meßbarkeit (in der obigen
Form) besteht, wenn man ein meßbares Zahlensystem zugrunde
legt, lassen wir hier dahingestellt.
Imaginäre Elemente.
56. Da die Grundsätze der Verknüpfung, der Anordnung und
der relativen Dichte ausreichen, um Koordinaten aus einem gewöhn-
lichen reellen Zahlensystem einzuführen, kann man nunmehr als imagi-
näre Elemente solche mit imaginären Koordinaten definieren. Man
kann aber auch, wie v. Staudt*) gezeigt hat, auf rein geometrischem
Wege zu den imaginären Elementen gelangen, indem man sie in be-
stimmter Weise durch reelle repräsentiert, so daß alle Konstruktionen,
in welchen imaginäre Elemente vorkommen, auf solche mit lauter
reellen Elementen zurückgeführt werden.
Wie in der Arithmetik ein Paar konjugiert imaginäre Zahlen
entweder als das gemeinsame harmonisch zu zwei sich trennenden
*) v. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage (Nürnberg 1856) § 7, p. 76.
Vgl. auch Stolz, Math. Ann. 4 (1871) p. 416; August, Untersuchungen über das
Imaginäre in der Geometrie (Programm der Friedrichs-Realschule in Berlin 1872);
Lüroth, Math. Ann. 8 (1875) p. 145; Grünwald, Zeitschrift f. Math. u. Physik 45
(1900) p. 10.
11*