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III. Projektive Geometrie.
53. Es hat sich also herausgestellt, daß von den beiden Grund-
sätzen der Meßbarkeit und der Dedekindschen Stetigkeit jeder zum
Beweise des projektiven Fundamentalsatzes hinreicht, da jeder von
beiden als hierfür allein wesentlichen Bestandteil den Grundsatz der
relativen Dichte enthält.
Man kann dem Grundsatz der relativen Dichte nicht den Mangel
der Anschaulichkeit vorwerfen oder die Unmöglichkeit, ihn empirisch
zu verifizieren, da diese Mängel den Grundsätzen der Meßbarkeit und
der Stetigkeit in ähnlicher Weise zukommen. Übrigens ist (wegen 31)
die empirische Verifizierung des Pascalschen Satzes zugleich eine solche
des Grundsatzes der relativen Dichte, aber nicht der Meßbarkeit und
nicht der Stetigkeit. Nun ist es zwar kaum zulässig, den Pascalschen
Satz als Erfahrungstatsache anzunehmen; wir werden diesen Satz aber
(s. metrische Geometrie) auf Grund der Kongruenzgrundsätze beweisen,
die ihrerseits ihren Ursprung in der Kenntnis der Bewegung starrer
Körper haben.*) Bei voller Ausnutzung des Erfahrungsinhalts wird
also der Grundsatz der relativen Dichte ein beweisbarer Satz, während
die Grundsätze der Meßbarkeit und der Stetigkeit nach wie vor un-
beweisbar bleiben.
54. Hilbert führt an Stelle der Dedekindschen Stetigkeit den
Grundsatz der Vollständigkeit ein, wonach die Dedekindsche Stetig-
keit aus der Meßbarkeit und der Vollständigkeit zusammengesetzt ist.
Diese subordinierte Zerlegung, in welcher der Grundsatz der Voll-
ständigkeit den der Meßbarkeit bereits voraussetzt, wird hier durch
eine koordinierte Zerlegung der Dedekindschen Stetigkeit in Meßbar-
keit und reine Stetigkeit (nach 48) ersetzt; und es zeigt sich, daß
von diesen beiden Bestandteilen der Dedekindschen Stetigkeit nur die
Meßbarkeit denjenigen Grundsatz enthält, welcher zum Beweise des
projektiven Fundamentalsatzes notwendig und hinreichend ist.
anderes ist als die projektive Form des Archimedischen Axioms der Meßbarkeit
und der weniger fordert als die (Dedekindsche) Stetigkeit, an Stelle der Stetig-
keit als Grundsatz einzuführen, blieb damals unbemerkt. Den im Lüroth-
Zeuthenschen Beweis vorkommenden Grenzprozeß ersetzen Thomae (1. c. p. 12)
und Schur (Math. Ann. 18, 1881, p. 252) durch stetige Bewegung. Einen anderen
auf der Stetigkeit beruhenden Beweis des Fundamentalsatzes gibt Balser (Math.
Ann. 55, 1901, p. 293), der auch bemerkt (p. 298), daß man die Stetigkeit durch
das Archimedische Axiom ersetzen kann. Balsers Formulierung desselben als
,,Satzes vom Fluchtpunkt" stimmt wesentlich mit unserer speziellen Form des
Grundsatzes (s. 39) überein.
*) Es kommt hier weder darauf an, woher diese Kenntnis stammt, noch
ob ihr in der Wirklichkeit etwas entspricht, sondern nur darauf, daß wir sie
zu haben glauben.