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III. Prójektive Geometrie.
Grundsatz der Stetigkeit herzuleiten. Es ist dies der vor Hilbert
übliche Weg zum Beweise des Fundamentalsatzes. *) Die Dedekindsche
Stetigkeit ist projektiv so zu formulieren: Ist P ein beliebiger Punkt
einer Geraden und teilt man alle übrigen Punkte der Geraden in zwei
Klassen A₁ und B, so daß P nie von einem Punkte einer Klasse
durch zwei Punkte der andern Klasse getrennt ist, so existiert ein
bestimmter Punkt Q auf der Geraden, so daß P und Q getrennt
werden durch je zwei Punkte A, Q und B₁ Q.
h
Unter dieser Voraussetzung sei also zu beweisen, daß durch eine
Reihe von Perspektivitäten, durch welche drei Punkte A, B, C einer
Geraden sich selbst entsprechen, auch jeder andere Punkt P der Geraden
mit einem entsprechenden P' zusammenfällt. Es sei nun D (+ D′) ge-
trennt von z. B. C durch die beiden andern Punkte A, B. Dann ist
auch, da Perspektivitäten die Anordnung ungeändert lassen (4), D′ ge-
trennt von C durch AB. Aus den Punkten, welche von C getrennt
sind durch AD, bilde man die folgenden beiden Klassen. Die Klasse
der Punkte P umfasse diejenigen sich nicht selbst entsprechenden
Punkte, für welche auch kein von C durch PD getrennter Punkt
sich selbst entspricht. Die Klasse der Punkte Q umfasse diejenigen
Punkte, für welche wenigstens ein von C durch QD getrennter sich
selbst entsprechender Punkt existiert. Jeder von C durch PD ge-
trennte Punkt gehört zur ersten Klasse; denn existierte ein solcher
Punkt der zweiten Klasse, so existierte ein von C durch QD ge-
trennter, sich selbst entsprechender Punkt R; dann folgte aus PD, Q¿C
getrennt, daß PQ, DC nicht getrennt, und aus QD, RC getrennt,
daß QR, DC nicht getrennt, und daraus PR, DC nicht getrennt,
also PD, RC getrennt, gegen die Definition von P. Demnach
existiert mindestens ein Punkt X so, daß XD, PC getrennte, XD, QC
nicht getrennte Paare sind, denn aus den Reihenfolgen CDP,X und
k
k
*) Es ist dabei nicht nötig, wie es meistens geschieht, die ursprüngliche
Definition der Projektivität als einer Folge von Perspektivitäten zu verlassen
und durch die v. Staudtsche Definition derselben als eine eindeutige Harmonien
erhaltende Beziehung zu ersetzen. Die letztere Definition ist zu eng, da auch
Reihen diskreter Punkte projektiv sein können. Andrerseits kommt natürlich
dem Satze, daß Harmonien erhaltende eindeutige Beziehungen stets Folgen von
Perspektivitäten sind, selbständiges Interesse zu. Die ursprüngliche Definition
ist z. B. beibehalten bei Thomae, Ebene geom. Gebilde 1. und 2. Ordnung vom
Standpunkte der Geometrie der Lage (Halle 1873) p. 11. Die v. Staudtsche Defi-
nition der Projektivität glaubte Klein (Math. Ann. 7, 1874, p. 536) durch den Zu-
satz ergänzen zu müssen, daß die Projektivität eine die Ordnung erhaltende
Beziehung ist; ein Zusatz, den Darboux (Math. Ann. 17, 1880, p. 55) als über-
flüssig nachwies.