Art. 38-45.
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und es sind nach 36 die Punktquadrupel E-1E+1, A, E, harmonisch,
so daß der Punkt E durch diese speziellen Harmonien gewonnen
wird; was zu beweisen war.
42. Satz: Der Grundsatz der Meßbarkeit ist unabhängig von
allen vorhergehenden Grundsätzen, mit Einschluß dessen der rela-
tiven Dichte (und dessen der Stetigkeit; s. 48).
Beweis: Die Koordinatengeometrien in einem linear geordneten
stetigen, nicht meßbaren Größensystem mit kommutativer Multipli-
kation.
43. Satz: Der Grundsatz der relativen Dichte ist nicht unab-
hängig vom Grundsatz der Meßbarkeit, sondern auf Grund desselben
beweisbar.
Beweis: Besteht der Grundsatz der Meßbarkeit, so besteht für
das Zahlensystem der Koordinaten (nach 40) der arithmetische Grund-
satz der Meßbarkeit, also (nach I 137 S. 44) der arithmetische Grund-
satz der relativen Dichte, also (nach 28) der geometrische Grundsatz
der relativen Dichte.
44. Demnach kann man den Beweis des Fundamentalsatzes der
projektiven Geometrie oder auch des Pascalschen Satzes statt auf den
Grundsatz der relativen Dichte auf den der Meßbarkeit gründen, wie
es Hilbert, aber unter Hinzunahme des Parallelenaxioms und einiger
Kongruenzaxiome, getan hat.*) Hilberts Satz 37, daß der Pascalsche
Satz nicht beweisbar sei auf Grund der Verknüpfungs- und der An-
ordnungsgrundsätze, unter Ausschluß des Grundsatzes der Meßbarkeit,
ist dahin zu präzisieren, daß der Pascalsche Satz wohl beweisbar ist,
wenn man den Grundsatz der Meßbarkeit durch den weniger enthal-
tenden Grundsatz der relativen Dichte ersetzt.
45. Hilbert beweist den Pascalschen Satz auf Grund der Meß-
barkeit auf dem Umwege über die Einführung der Koordinaten. Man
kann aber, ähnlich wie in 29, 2 den Pascalschen Satz, oder besser
den projektiven Fundamentalsatz, direkt und rein geometrisch auf Grund
der Meßbarkeit beweisen. Es sei also ABCD ABCD und zu be-
weisen, daß D = D' ist. Angenommen, es wäre D D', so kann man
nach dem Grundsatz der Meßbarkeit aus A, B, C durch bloße Harmonien
ein Punktpaar P, Q herleiten, welches D, D' trennt. Dann ist wenig-
stens einer der drei Punkte A, B, C, z. B. A, von P und Q verschieden.
Die Reihe von Perspektivitäten, welche ABCD in ABCD' überführt,
führt je vier harmonische Punkte in vier harmonische, also P und Q
in sich über. Da Perspektivitäten die Anordnung ungeändert lassen,
*) Grundlagen der Geometrie, Kap. VI.
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