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III. Projektive Geometrie.
nur Punkte P= (xy00) mit ganzzahligen Koordinaten x, y erhält.
Es ist zu zeigen, daß man jeden beliebigen Punkt dieser Art durch
bloße Harmonien erhält. Es seien zunächst x und y einerlei Zeichens;
man kann dann beide positiv annehmen. Ferner kann man der Kürze
halber xy voraussetzen; die entgegengesetzte Annahme läuft auf
eine Vertauschung von A, und A₁ hinaus.
X
Man entwickele in den Kettenbruch
y
(0)
N(0)
0 Z10) 1
1
N10
1
Z21
ND
und bestimme die Näherungswerte*) desselben:
(0)
1
a₁ +
1
a₁+
1
a₁+
1
a₁+1
1 '
2
Dann ist bekanntlich allgemein
1
aq +
=
1
а q +
Z2
-(0)
=
+
1
Ag +
"
Z(-1)
αν
N(-1)
1
αχ + ξ
a
b'
also der komponierte Bruch
+
av
-
X
y
a + c
b + d
-
(0)
Zai
1 1+0 1 1+0
1+1' 3
+1
-(0)
1
a₁ +
(k-1)
-
demnach ergibt sich für § = 1 jeder Näherungswert aus zwei vorher-
gehenden durch „Komposition", d. h. durch Bildung des Bruches aus
der Summe der beiden Zähler und der Summe der beiden Nenner, z. B.
1 +
-
Z + § Z(k − 2)
ακ
"
"
ak-1
N(k-1) + §N(k − 2)
ak
ak-1
2
1+0
1+1
a₁ + 1' 2α₁+1 (a₁ + 1) + a,'
ZD
N{"
9
α
b
+
1
αν
und zwar wird bei der Komposition erstens der unmittelbar vorher-
gehende, etwa, und zweitens derjenige letzte vorhergehende, etwa
verwendet, für welchen zwischen und liegt. Es wird
d
x
gebildet. Liegt nun zwischen
У
1
a₁ +1'
*) Vgl. des Verfassers Aufsatz: Über Näherungswerte und Kettenbrüche,
Crelles Journal Bd. 115 (1895) p. 221 ff. und Netto, Über Näherungswerte und
Kettenbrüche, Crelles Journal Bd. 125 (1903) p. 34 ff.