Art. 21-29.
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Sätze
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mit A, zu verschiedenen Klassen bezüglich PQ1. Ist also z. B. P₁Q1
durch XA, getrennt, so ist (nach 17) x zwischen p, q. Da nun X die
Koordinaten 1, x, 0, 0 hat, so ist (nach 24) x aus einem Zahlensystem
mit kommutativer Multiplikation, was zu beweisen war.
28. Satz: In einer Koordinatengeometrie gilt der Grundsatz der
relativen Dichte, wenn in dem zugrunde liegenden Zahlensystem der
arithmetische Grundsatz der relativen Dichte gilt.
Beweis: Gilt in dem Zahlensystem der arithmetische Grundsatz
der relativen Dichte, so gilt (nach I 134) das kommutative Gesetz der
Multiplikation. Demnach besteht der Pascalsche Satz allgemein. Da
es ferner auf jeder Geraden [PQ] noch mindestens einen weiteren
Punkt R, also auch den in bezug auf PQ harmonischen S gibt, und
PQ, RS sich trennen (s. 12), so gibt es zu jedem Punktpaar PQ
trennende RS aus dem Pascalschen Netz, welches hier ja alle Punkte
umfaßt.
29. Satz: Gilt der Grundsatz der relativen Dichte, so gilt der
Pascalsche Satz..
Beweis: 1) Führt man nach II 148 S. 135 Koordinaten ein, so
folgt nach 27 für dieselben das Bestehen des arithmetischen Grund-
satzes der relativen Dichte, also nach I 134 S. 43 das des kommuta-
tiven Gesetzes der Multiplikation und daraus nach II 110 S. 107 das
Bestehen des Pascalschen Satzes.
2) Man kann aber, ohne diesen Umweg über die Einführung der
Koordinaten zu machen, den Pascalschen Satz oder zweckmäßiger den
Fundamentalsatz der projektiven Geometrie direkt mit Hilfe des Grund-
satzes der relativen Dichte beweisen. Wir sprechen den Fundamental-
satz zu dem Zwecke so aus: Stimmen zwei gleiche Punktquadrupel
ABCD, ABCD' in drei Punkten überein, dann auch im vierten.
Es seien erstens A, B, C drei Punkte des Pascalschen Netzes, ferner
P, R ein Punktpaar desselben, welches DD' trennt, Q auf [AB] ein be-
liebiger Punkt desselben, von D, D', P, R verschieden. Die Reihen-
folge von Perspektivitäten, welche ABCD in ABCD' überführt, führt
auch PQR in PQR' über. Da Perspektivitäten die Anordnung ungeändert
lassen, müßten die Punktpaare QD, PR und QD', PR gleichzeitig
trennende oder nichttrennende sein, also DD', PR nichttrennend,
gegen die Annahme. Es seien zweitens A, B, C nicht drei Punkte.
des Pascalschen Netzes. Die Perspektivitäten, durch welche ABCD
in ABCD' übergehen, kann man als in einer Ebene gelegen an-
nehmen, da man sie andernfalls von einem Punkte des Raumes
aus in eine Ebene E von [AB] projizieren kann. Nunmehr seien
A, B, C drei in einer andern Ebene E in einer Geraden liegende
P