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III. Projektive Geometrie.
10. Satz: Steht zu zwei von den drei Paaren eines Geraden-
tripels A, B, C eines Punktes O das Geradenpaar P, oder das
Ebenenpaar ▲ = (PO), E = {0} in der gleichen Beziehung des
Trennens oder Nichttrennens, so wird es durch das dritte Paar nicht-
getrennt.
-
Beweis dual zu 9.
11. Satz: Steht zu zwei von den drei Paaren eines Geraden-
tripels A, B, C im Raume das Geradenpaar P, einer Ebene in der
gleichen Beziehung des Trennens oder Nichttrennens, so wird es
durch das dritte Paar nicht getrennt.
Beweis: Der Satz wird durch Schneiden von A, B, C mit (PQ)
auf 7., oder durch Verbinden von A, B, C mit (PQ) auf 8. zurück-
geführt.
12. Satz: Sind A, B und C, D harmonische Punktpaare, so
trennen sich A, B und C, D.
Beweis: Es sei ABCD ¯ A'B'C' D' ¯ BACD. Wären nun
S
T
z. B. AC, BD getrennt, so folgte (4), daß auch A'C', B'D getrennt,
und ebenso, daß auch BC, AD getrennt sind, gegen 3.
Folgerung: Nennt man also einen Punkt P und eine Gerade
in der Ebene (ABC) getrennt durch ABC, wenn die Punktpaare
BC, AA', ebenso CA, BB', ebenso AB, CC' getrennt sind,
Ꭺ
A₁ = ([PA][BC]), B₁ = ([PB][CA]), C₁ = ([PC][AB])
A' = ([BC]), B' = ([CA]),
C' = ([AB])
gesetzt ist, so existiert zu jedem Punkte P eine getrennte Gerade,
nämlich die der drei Punkte
WO
([BC][BC]), ([CA][C₁₁]), ([AB][A, B₁]),
welche nach dem Desarguesschen Satze auf einer Geraden liegen, weil
[AA₁], [BB₁], [CC₁] durch einen Punkt P gehen.
Dann ergibt sich z. B. aus 7., wenn man die Gerade durch
einen von ihr getrennten Punkt P ersetzt, der Satz: Sind BC, øÃ'
getrennt und CA, BB' getrennt, dann sind auch AB, C, C' getrennt.
13. Definitionen: Die Punkte einer Geraden A, B, C, D liegen
in der Reihenfolge" ABCD, wenn AC und BD getrennte Punkt-
paare sind. Demnach ist diese Reihenfolge identisch mit den folgen-
den ADCB, CBAD, CDAB, BADC, BCDA, DABC, DCBA;
d. h. es sind die zyklischen Permutationen und die Umkehrungen ge-
stattet. Die Reihenfolge von vier beliebigen Punkten ABCP einer
Geraden läßt sich daher stets so angeben, daß dabei ABC in dieser