Art. 6-9.
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oder nichtgetrennten Punktpaaren geschnitten werden, so wird nun-
mehr allen Grundsätzen 1, 2, 3, 4, und zwar auch für Geradenbüschel
und Ebenenbüschel, genügt.
6. Definitionen: Zwei Elementenpaare eines Grundgebildes
erster Stufe heißen sich trennend", wenn die Elemente jedes Paares
in bezug auf das andere Paar zu verschiedenen Klassen gehören. In
einer Ebene heißen ein Geradenpaar A, B und ein Punktpaar C, D
getrennt, wenn A, B und [(AB), C], [(AB), D] getrennte Geraden-
paare sind. In einem Bündel heißen ein Geradenpaar A, B und ein
Ebenenpaar, ▲ getrennt, wenn A, B und [{AB}г], [{AB} ▲]
getrennte Geradenpaare sind. Im Raume heißen ein Punktpaar C, D
und ein Ebenenpaar, ▲ getrennt, wenn C, D und ([CD]г),
([CD]A) getrennte Punktpaare, also r, ▲ und {[[▲]C} {[гAD}
getrennte Ebenenpaare sind. Schließlich heißt ein Geradenpaar A, B
einer Ebene {A, B} und ein beliebiges Geradenpaar C, D getrennt,
wenn A, B und
[(AB), (C { AB})], [(AB), (D{AB})]
getrennte Geradenpaare sind.
7. Satz: Steht zu zwei von den drei Paaren eines Punkttripels
A, B, C das Ebenenpaar ▲, E oder das Geradenpaar [{ABC) ▲] = P,
[{ABC}E]=Q in der gleichen Beziehung des Trennens oder Nicht-
trennens, so wird es durch das dritte Paar nichtgetrennt.
Beweis: Sei [(PQ) A] = A, [(PQ) B] = B, [(PQ) C'] = C. Die
drei Geraden A, B, C verteilen sich bezüglich P, Q auf zwei Klassen;
sind also z. B. A, B, also (5) A, B getrennt in bezug auf P, Q, ebenso
A, C, also A, C getrennt in bezug auf P, Q, so gehören B, C zu der-
selben Klasse in bezug auf P, Q, d. h. es sind P, Q, also auch ▲,
E nichtgetrennt in bezug auf B, C.
8. Satz: Steht zu zwei von den drei Paaren eines Ebenentripels
A, B, das Punktpaar DE oder das Geradenpaar [(ABг) D] = P,
[(ABг)E] = in der gleichen Beziehung des Trennens oder Nicht-
trennens, so wird es durch das dritte Paar nichtgetrennt.
Beweis dual zu 7.
9. Satz: Steht zu zwei von den drei Paaren eines Geradentripels
A, B, C einer Ebene E das Geradenpaar P, oder das Punktpaar
P=(PE), (QE) = Q in der gleichen Beziehung des Trennens oder
Nichtrennens, so wird es durch das dritte Paar nichtgetrennt.
Beweis: Man braucht diesen Satz nur für A, B, C, P, Q zu be-
weisen; dieser ist dual zum Satze 7., soweit er sich auf A, B, C, P, Q
bezieht.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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