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III. Projektive Geometrie.
Die festgesetzte Anordnung der vier Punkte ist daher von der dabei
angewendeten Transformation unabhängig. Daß der Grundsatz 2 zu-
nächst für Punktreihen erfüllt ist, wurde bereits hervorgehoben. Auch
der Grundsatz 3 besteht zunächst für Punktreihen; denn ist ABCD
in 01 p transformiert, so findet einer und nur einer der drei Fälle:
p<0,0<p<1, 1<p statt, also auch einer und nur einer der
drei Fälle: BD, AC getrennt, CD, AB getrennt, AD, BC getrennt.
Den Grundsatz 1, zunächst für Punktreihen, erfüllt man, indem man
in bezug auf AC die Punkte BD in dieselbe oder in verschiedene
Klassen rechnet, je nachdem ob Nichttrennen oder Trennen statthaft.
Ein Punkt (1 p 0 0) gehört der ersten oder zweiten Klasse an, je
nachdem ob p>0 oder p<0 ist. Um auch den Grundsatz 4, zu-
nächst für Punktreihen, zu beweisen, zeigen wir zunächst, daß zwei
Punktquadrupel ABCD, A'BCD' gleich geordnet sind, wenn A= A'
ist und [BB'], [CC'], [DD'] sich in einem Punkte schneiden. Man
transformiere die Koordinaten derart, daß A = A' = (1 0 0 0),
C = (0100), C' = (0010), ein beliebiger Punkt, der nicht in
{ ACC' } liegt, = (0001), ein beliebiger Punkt der Ebene {(0001)[BB]},
der nicht in [B(0 0 0 1)], [B' (0 0 0 1)], [BB'] liegt, = (1 1 1 1), also
B (1100), B' (1 010), ([BB'][CC']) = (0 1 10) wird. Wird
nun D (1d00), so wird
=
D'
([0 1 1 0) (1 d 0 0)] [(1 0 0 0) (0 0 1 0)]) = (1 0 d 0).
Die Ordnung der vier Punkte
A' (1000), B' (1010), C' (0010), D' = (1 0 d 0)
hängt aber, wie man aus der Transformation
X
=
=
=
x'
y
Z
ť
=
=
=
2
y
t
=
erkennt, von der Ordnung der vier Zahlen 0, 1, c, d in derselben
Weise ab, wie die der vier Punkte A, B, C, D.
Durch zweimalige Anwendung des eben bewiesenen Satzes erhält
man: zwei Punktquadrupel ABCD, A'B'C'D' sind jedenfalls dann
gleich geordnet, wenn [AA], [BB′], [CC'], [DD'] durch einen
Punkt gehen. Definiert man nunmehr zwei Geradenpaare eines
Büschels oder zwei Ebenenpaare eines Ebenenbüschels als getrennt
oder nichtgetrennt, je nachdem ob sie von einer, also von jeder nicht
durch den Träger des Büschels gehenden Geraden in zwei getrennten