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III. Projektive Geometrie.
Beweis: Für vier in einer Geraden liegende verschiedene Punkte
A, B, C, D werde folgendermaßen eine Anordnung festgesetzt. Es
werde eine Koordinatentransformation vorgenommen, bei welcher
A = (1000), C' = (0100), ferner zwei beliebige Punkte, mit AC in
keiner Ebene, = (0010) und (0001), ein beliebiger Punkt
der Ebene {B, (0010), (0001)}, in keiner der Geraden [B (0010)],
[B(0001)], [(0010) (0001)], gleich (1111), also B = (1100) wird.
Wird dann D = (x, y, 0, 0), so ist x 0, man kann also y = P,
D = (1, p, 0, 0) setzen, und es ist p0, 1, so daß einer der drei
Fälle statthat:
1
X
1) p<0, 2) 0 <p<1, 3) 1< p.
Im ersten Fall sagen wir: es sind BD und AC getrennt, im zweiten
Fall: es sind CD und AB getrennt, im dritten Fall: es sind AD und
BC getrennt. Jede beliebige Transformation:
aox + boy + coz + dot
a₁ x + b₁ y + c₁ z + d₁t
A₂ x + b 2 y + Cqz + d₂t
Az X + bzy + Сzz + dzt,
bei welcher A, B, C dieselben Koordinaten erhalten, hat die Form
x'
y'
z
ť
=
=
=
=
x'
y
Z
ť
= x + co² + dot
=
=
y + q₁ z + d₁ t
C₂+ dat
Czz + dzt,
so daß auch D dieselben Koordinaten (1, p, 0, 0) erhält. Bezeichnet
man die Koordinatenquadrupel (1000), (1 1 0 0), (0100), (1p00)
kurz mit 0, 1, ∞, p, so ist zu zeigen, daß jede Transformation von
irgend dreien der A, B, C, D in 0, 1, ∞ zu derselben Anordnung von
A, B, C, D führt.
Die Transformation
=
x'
y'
――――
y
S)
1
führt A, B, C, D über in ∞, 1, 0,
; ist nun p <0, so ist auch
p
1
1
<0, also BD und AC getrennt; ist 0<p<1, so ist
>1,
p
P
1
also CD und AB getrennt; ist 1 <p, so ist 0 < <1, also AD
und BC getrennt; in Übereinstimmung mit den früheren Festsetzungen.
p
=X