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II. Projektive Geometrie.
P₁ = ([A。4₁] {PA2A,}), P₂ = ([A。42] { PA₁A3}),
P3 = ([A。43] {PA₁A₂}),
1
ferner eine beliebige Ebene,
3
D₁ = (^‚ [¼。4₁]), D₂ = (▲, [A。A2]), D¸ = (▲, [4。4g]),
D' = (▲, [AP]), A'=([AP]{A, Ag Ag}),
so ist allgemein
2
3 3 0
(P₁ D₁AA₁) + (P₂D₂¸½) + (P¸Ð¸Ã„Ÿ) = (PD'A。 A'),
und insbesondere, wenn und nur wenn P in ▲ liegt:
(Р₁D₁¸Â₁) + (P½D½Ã¸A½) + (P3D3AA3) = 1.
1
2
0
Ist nämlich Pº ({ A。A₁ A2} [A, P])
=
1
Aº = ({ A。 A₁ 42 } [A, A′]), D° = (
= ([A。Pº][D₁D₂]),
also:
P
P₁
P
D
D
D' A'
A
P₁
p⁰
(P₁D¸Ã ¸) + (P₂D‚¸Â) = (PºDºÃ¸Âº).
2 2
Dº
PD'
D3
und wendet man den Satz 132 auf die Ebene (4, 4, 4}, den Punkt
Pº, die Gerade [D₁D] an (s. Fig.), so kommt:
A'
Wendet man zweitens den Satz 132 auf die Ebene {¸ºø},
den Punkt P, die Gerade [DD] an (s. Fig.), so kommt:
(PºDºÃ¸Ãº) + (P3D3AA3) = (PD'¸Ã'),
·
2
3
(P₁D₁øø) + (P₂D₂Ÿ½) + (P¸Ð¸Ã ¸) = (PD' A A').
Da schließlich (PD'¸Ã') dann und nur dann gleich Eins ist, wenn
P = D′ ist, also P in ▲ liegt, so folgt auch der zweite Teil des Satzes.
Setzt man nunmehr, wie in 131, 134: