Art. 147-150.
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Dann ist zugleich, vermittelst derselben Perspektivitäten, auch
(Ã¸В¸Ð¸ E。) = (A, B, D, E,),
0
2 2
0 0
(B,C,D¸E) = (B₂ C₂ D₂ E₂),
(A。 CDE) = (A, C, D, E₂).
Nunmehr sei
so folgt aus
(ABDE) ☎ (ACD, E) und
A2
so ist
(A‚½нЕ2) √ (AC′D₂E。),
Ao
nach dem Fundamentalsatze
(ACD,E) = (AC´D₂E。)
2
C = C',
d. h. ([A B][A B]) liegt auf [E, D₂]; dasselbe folgt für ([A C₂][4₂ C])
und ([BC][BC]).
0
148. Satz: Es ist ABCD = BADC.
Beweis: Es sei
ABCDEFGD MNGC,
M
MNGC BADC,
F
A
=
also (140)
ABCD:
BADC.
149. Definition: Unter dem Wurf ABг▲ von vier Ebenen
einer Geraden & wird der Wurf der vier Punkte (AH), (BH), (г§),
(AH) für irgend eine nicht durch & gehende Gerade verstanden,
der nach 140 für jede solche Gerade H der gleiche ist. Denn sind
Hund ' zwei solche Gerade, 5" durch 5 und H' eine dritte solche
Gerade, so sind die auf § und H″ liegenden Würfe der Schnittpunkte
mit den Ebenen A, B, г, ▲ perspektivisch und dasselbe gilt für die
auf und " liegenden Würfe.
150. Satz: In einer räumlichen Geometrie kann man stets Ko-
ordinaten einführen.
Beweis: Die in 133 bis 135 gegebene Einführung von Koordi-
naten in eine ebene Desarguessche Geometrie läßt sich ohne weiteres
auf den Raum übertragen. In den Definitionen 113, 114 tritt an
Stelle der Geraden [A'A″] eine Ebene {A,A,A}, die nicht durch
A geht. Dann ist jeder Wurf einem in der Ebene {44₁₂} gelegenen
gleich. Alle Rechnungsgesetze bleiben daher unverändert bestehen.
Ist jetzt P ein beliebiger Punkt,