126
II. Projektive Geometrie.
134. Satz: Sind (E, F, AA,) und (E, FAA) harmonische
Punkte, so ist
die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß der Punkt
P (x, x1, x2) auf der Geraden = [0, 1, 2] liegt.
&
Beweis: Die in 132 abgeleitete Bedingung nimmt mit Rück-
sicht auf 119 und 120 die Form an:
oder
also (wegen 131, 133):
also
+ (P₂ Е½ øÃ₁) (E, F¸Ã¸Ã‚) (F, G, A。 A‚) = 1,
2
2
(P₁ E₁ 44₁) (E, F₁ A。A₁) (F₁ G₁ A¸Ã₁)
1 0
1
X1
135. Es ist
1
x。 = (E, P₁A, A₁),
xo
Xo§o + x₁§1 + x2 §2 0
=
151
= -
ૐ
=
X2
x₂ = (E₁ Q₁ A。 A₁),
1
1
X2
wo ([E, Q₁], [E₁ Q2])
Es ist
1 ξ, 1 ધ
X1
+
Xo So Xo ξυ
X2
=
1
X1 (E, PA A₂) (P₁ E₁ ¸ø) = (E₂ Q₂ A¸ A₂)
2 2
1
0
2
X2
1
1,
=
Xo§。 + X₁§1 + x½½
X1
1.
wenn [QE], [Q₂E₁], [P₁P₂] durch einen Punkt P' auf [4,4]
gehen. Für P auf [¼Ã₁] oder auf [44] gilt nur derjenige der
beiden Werte
X₁ oder
X1
X2, welcher 0 ist. Für PA setze
man xx=0. Liegt P auf [4,4], so setze man
(P'PA₁₂)
X2
X1
Xo
0,
X1 (E2 Q2 A0A2),
P' ist.
-
(G₁ F₁AA₁),
1
1
X2
§o
S
(F₁ H₁AA₁),
1
X .
+1=0
1
X1
=
0.
(E₂ P½ ø¹₁),
2
X2 (E₁ Q₁ AA₁),
(G₂ F₂AA₂),
2 0
(F, G, A A) (G₁ F₁ A, A₁) = (F, H₂ ¸½),
A
2 2
ξυ
wenn [F, H₂], [F, H₁] durch G′ = (&, [4, 4,]) gehen. Geht & durch
G'
A, oder durch A½, so gilt nur derjenige der beiden Werte & oder
S2
ઠંડ