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II. Projektive Geometrie.
also (wegen 121)
(F₁₁ А。 4₁)
1.
-
132. Satz: Ist in der Ebene (4,4,4,} & = [G, G₂] eine be-
liebige Gerade, P ein beliebiger Punkt,
A
und daß
ૐ,
лет мой
E
A
E₁
E
=
AF
= (F₁ G₁ A。A₁),
-
S
1
X
F
2
G₁ = (&, [øÃ₁]),
0
G₂ = (G, [A。 42]),
P₁
usus
=
([A₂ P.] [A。 A₁]),
0
Beweis: Da die Addition von der Wahl der Punkte E₁, E₂ un-
abhängig ist, wähle man G₁, G₂ statt E1, E2. Dann wird (s. Fig. S. 125)
2
1 1 0
2 2
0
(P₁ G₁ ¸ ø) + (P¸ G₂ A。 A₂) = (S′ G'øA′),
wo S' = ([4₁P₂] [A, P₁]
P wird.
1 2
2
Liegt P in &, so wird auch G'= P, also (nach 121) (PG' A¸A') = 1
Umgekehrt, ist (PG'AA') = 1, so folgt GP, also P auf G.
133. Satz: Sind xo, x1, x2,
0, 1, 2 Würfe derart, daß
1
X1
J = ( PEA A),
xo
P2
=
([A₁ P] [A。A₂]),
2
G'
([AP] [G, G₂]),
1
A' =
([AP] [A, A₂]),
so ist allgemein
-
(P₁ G₁ A A₁)
2
+ (P₂ G₂ A。 A₂)
(PG'A。A'),
0
und insbesondere,
wenn und nur
wenn Pin & liegt,
(P₁G₁ A。 A₁) +
1 1 0
(P₂ G₂ Ao A2)
1
2 2
x₂ = (P₂ E₂ A。 A₂)
X2
2
0
=
= (F, G, A。A₂),
2